La ecuación de Slutsky relaciona las funciones de demanda Hicksiana y Marshalliana.
La demanda Hicksiana minimiza el costo necesario para alcanzar una cierta utilidad. En tu pregunta, has etiquetado esto como $x_1^s$ (aunque no estoy familiarizado con esta notación). Debido a que la demanda Hicksiana mantiene constante la utilidad, mide el efecto de sustitución puro.
La demanda Marshalliana maximiza la utilidad dada una renta fija. En tu pregunta, has etiquetado esto como $x_1^m$. Debido a que la demanda Marshalliana mantiene constante la renta, el precio afecta a la demanda Marshalliana tanto porque un aumento en el precio de un bien hace que el otro bien sea más atractivo (efecto de sustitución) y porque disminuye los diferentes tipos de canastas de bienes que puedes comprar (efecto de renta).
Nótese que, para encontrar $x_1^* = 2m/3p_1$ y $x_2^* = m/3p_2$, maximizaste la utilidad dada una renta fija, resolviendo $MU_{x_1}/MU_{x_2} = p_1/p_2$ con $m=p_1x_1+p_2x_2$. Entonces, lo que has encontrado y etiquetado como $x_1^*$ y $x_2^*$ es la demanda Marshalliana.
Eso nos lleva de nuevo a la ecuación de Slutsky.
$$\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1} = \frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}+x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$$
¿Qué significa esto? Recuerda, la demanda Hicksiana es el efecto de sustitución puro. Entonces, $\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}$ es el efecto de sustitución. Y la demanda Marshalliana incluye el efecto de sustitución y el efecto de renta.
Entonces, lo que esto dice es que el efecto de sustitución ($\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}$) es lo que obtienes si comienzas con el efecto total ($\frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}$), incluyendo efectos de renta y sustitución, y luego sacas el efecto de renta ($x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$).[nota abajo]
Entonces, ¿dónde te deja eso?
Puedes calcular el efecto de renta como $x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$. En otras palabras, a medida que el precio sube, sube por cada una de las unidades $x_1$ que estás comprando, y por lo tanto el efecto en la renta es el cambio de precio (1) multiplicado por el número de unidades ($x_1$). Y la renta afecta tu demanda de $x_1$ a través de $\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$, por lo que el efecto de renta es $x_1\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$. Dado que tienes demanda Marshalliana, simplemente toma la derivada de $x_1^m$ con respecto a $m$ para obtener $\frac{\partial x_1^m}{\partial m}$, y luego multiplica por $x_1$ para obtener el efecto de renta.
Puedes calcular el efecto de sustitución, entonces, de una de dos formas. Puedes usar la ecuación de Slutsky: calcular el efecto total $\frac{\partial x_1^m}{\partial p_1}$ tomando la derivada de $x_1^m$ con respecto a $p_1$, y luego insertarlo en la ecuación de Slutsky con el efecto de renta para obtener el efecto de sustitución, $\frac{\partial x_1^s}{\partial p_1}$.
O, puedes calcular la demanda Hicksiana $x_1^s$ directamente resolviendo $MU_{x_1}/MU_{x_2} = p_1/p_2$ con $U(x_1,x_2) = s$. Luego, toma la derivada de $x_1^s$ con respecto a $p_1$ para obtener el efecto de sustitución.
[Nota: Puede parecer extraño "sacar" el efecto de renta al agregarlo. Pero recuerda que el efecto total es negativo, ya que un $p_1$ más alto lleva a menos $x_1$. Y así agregar un efecto de renta positivo (mayor renta lleva a más consumo de bienes normales) es de hecho "sacar" el efecto de renta.]
