¿Cuál es la diferencia entre ATE y ATT?

Question

Vi ATE y ATT en algunas discusiones sobre la configuración de DID recientemente. ATE es el Efecto Medio del Tratamiento mientras que ATT es el Efecto Medio del Tratamiento en los Tratados.

Me pregunto cuál es la diferencia entre estos dos términos y si hay algún ejemplo para aclarar tal diferencia.

Answer 1

Los efectos del tratamiento son efectos causales de un tratamiento binario. Dado que el tratamiento es binario, las personas son tratadas o no son tratadas. Para fines de ejemplo, supongamos que el tratamiento es la participación en un curso que te enseña a ganar dinero: se afirma que el curso te hace mejorar en ganar dinero.

Obviamente, el efecto causal de dicho curso podría variar de una persona a otra (esto se conoce como heterogeneidad del tratamiento). Algunas personas pueden aprender mucho del curso y realmente mejorar en ganar dinero, mientras que otras se aburrirán con el contenido del curso y experimentarán un efecto nulo. Como es habitual cuando medidas cuantitativas importantes varían entre las unidades observadas, una estadística resumen canónica es el promedio. El Efecto Promedio del Tratamiento (ATE) es simplemente eso: el promedio de los efectos individuales del tratamiento de la población considerada. Y el Efecto Promedio del Tratamiento en los Tratados (ATT) es simplemente el promedio de los efectos individuales del tratamiento de aquellos tratados (por lo tanto, no de toda la población).

Para aclarar de manera formal cuál es el efecto causal del tratamiento, a menudo se asume que para cada individuo $i$ existe una cantidad de dinero $Y_i^0$ que el individuo $i$ ganará sin tomar el curso de formación. Y también existe una cantidad de dinero $Y^1_i$ que el individuo $i$ ganará si toma el curso. El efecto causal para el individuo $i$ de participar en el curso se define entonces como

$$\tau_i := Y_i^1 - Y^0_i,$$

la diferencia en el resultado con y sin tratamiento.

Para fines de ejemplo, considera la siguiente tabla para 6 individuos:

Es claro a partir de la tabla que los individuos $i=1,2,3$ están tratados $D_i=1$ mientras que los individuos $i=4,5,6$ no están tratados. Para aquellos que están tratados, la cantidad observada de dinero que gana el individuo $Y_i$ es igual a $Y_i^1$. Para aquellos no tratados, la cantidad observada de dinero que gana el individuo $Y_i$ es igual a $Y_i^0$. En general, esto se escribe como

$$Y_i = D_i Y_i^1 + (1-D_i)Y_i^0.$$

Una parte importante de la configuración es, por lo tanto, que mientras se asume que $Y_i^1$ y $Y_i^0$ existen, no se asume que sean observados.

Sin embargo, volviendo a ATT y ATE. En el ejemplo anterior, el ATE se puede calcular como

$$ATE := \frac{1}{N} \sum_i \tau_i = \frac{1}{N} \sum_i (Y_i^1 - Y_i^0) = \frac{1+1+1+0+1-1}{6} = 0.5,$$

y el efecto promedio del tratamiento de los tratados se calcula como

$$ATT := \frac{1}{N_1} \sum_i \tau_i = \frac{1}{N_1} \sum_i (Y_i^1 - Y_i^0) = \frac{1+1+1}{3} = 1.0,$$

donde $N_1 = \sum_i D_i = 3$.

En este ejemplo, ATE y ATT son numéricamente iguales, pero como puedes ver, son promedios de diferentes conjuntos de efectos causales individuales. Por lo tanto, no necesariamente se espera que sean iguales. Intenta construir un ejemplo por ti mismo donde sean diferentes simplemente cambiando el grupo de individuos tratados.

El efecto promedio del tratamiento (ATE) se utiliza cuando estamos interesados en el tratamiento promedio de toda la población, mientras que el efecto promedio del tratamiento en los tratados (ATT) se utiliza cuando solo estamos interesados en el efecto promedio del tratamiento de aquellos tratados.

Answer 2

Veamos esto en el contexto de un modelo simple utilizado por Burde y Linden (2013) que analizaron el efecto de construir nuevas escuelas en aldeas (en lugar de que los niños se desplacen) en los resultados académicos de los estudiantes. Ellos estimaron el siguiente modelo:

$$Y_{ijk} = _0 + _1T_k + e_{ijk}$$

Donde $Y_{ijk}$ es un resultado académico del niño $i$ en el hogar $j$ en una aldea $k$.

Aquí, $T_k$ es una variable dummy que indica si la aldea recibió una escuela en el primer año o no, que solo puede tomar dos valores 1 o 0.

En este escenario tendremos 2 posibles resultados condicionales

$$T_k = \begin{cases} Y_{ij1}| T_k = 1\implies Y_{ij1} = _0 + _{1}1 + e_{ijk} \\ Y_{ij0}| T_k = 0 \implies Y_{ij0} = _0 + _10 + e_{ijk} \end{cases}$$

Ahora finalmente podemos dirigir nuestra atención a la explicación de ATE vs ATT.

Efecto Medio del Tratamiento

En este contexto, el efecto medio del tratamiento es simplemente:

$$\text{ATE}= E[Y_{ij1} - Y_{ij0}]$$

Entonces es la diferencia entre los resultados potenciales, en este caso el rendimiento académico entre los niños que tuvieron acceso a las escuelas de aldea y los niños que no tuvieron acceso a las escuelas de aldea.

Efecto Medio del Tratamiento en los Tratados

Ahora cuando se trata del efecto medio del tratamiento en los tratados, esto se define como:

$$E[Y_{ij1} Y_{ij0}|T_k = 1]$$

Entonces en palabras simples y aplicado al caso anterior, esta es la diferencia en los resultados académicos potenciales entre los niños que tuvieron acceso a las escuelas de aldea, y los niños que no tuvieron acceso a las escuelas de aldea condicionalmente al hecho de que ambos fueron asignados a las escuelas de aldea.

El resultado $Y_{ij0}|T_k = 1$ es esencialmente un contrafactual para $Y_{ij1}$ en un 'universo paralelo' donde exactamente las mismas personas que recibieron el tratamiento en este universo no recibirían el tratamiento. Con el ATE estás comparando niños que recibieron escuelas con otros niños que no recibieron escuelas, mientras que con el ATT estás comparando niños que recibieron escuelas, con los mismos niños que recibieron escuelas de un 'universo paralelo' donde no recibieron escuelas.

Answer 3

En RCT, $ ATE = ATT = ATU$.

En un estudio observacional, $ATT\neq ATE$, ya que $$ ATE = E\{Y(1)-Y(0)\} = E_X\{E(Y|X,A=1)-E(Y|X,A=0)\}= E_X\{E(Y|X,A=1)\}- E_X\{ E(Y|X,A=0)\}\}, $$ $$ ATT = E\{Y(1)-Y(0)|A=1\} = E(Y|A=1) - E_X\{E(Y|X,A=0)\}. $$

Answer 4

Soy investigador en ciencias sociales, por lo que mi ejemplo vendrá de estudios observacionales. Por ejemplo, considera que una universidad ofrece tutorías de cálculo a todos los estudiantes que toman el curso, pero solo algunos eligen usar este servicio. Quieres estimar los efectos de las tutorías, por lo que puedes hacerlo de dos maneras:

1. ATE (Efecto Medio del Tratamiento). Este mediría el efecto que participar en las tutorías tendría en toda la población de estudiantes (aquellos que usaron las tutorías (1) y aquellos que no las usaron (0)). Si ves un efecto positivo, entonces puedes generalizar diciendo que todos los estudiantes que toman cálculo deberían usar servicios de tutorías.

2. ATT (Efecto Medio del Tratamiento en los Tratados). Este mediría el efecto que participar en las tutorías tendría en los estudiantes que utilizaron el servicio (los tratados) o (aquellos que usaron las tutorías (1)). Aún puedes compararlo con aquellos que no usaron las tutorías (0), pero el efecto del tratamiento te dirá cómo les hubiera ido a los estudiantes que usaron las tutorías si no las hubieran utilizado.