Estoy tratando de encontrar soluciones de frontera para el siguiente problema de maximización de la utilidad, pero no estoy seguro de cómo proceder. Aquí está el problema y lo que tengo hasta ahora:
$ \max x_1^\alpha + x_2 \qquad \text{s.t.}\ x_1 \geq 0,\ x_2 \geq 0,\ p_1x_1 + p_2x_2 \leq w$
donde $\alpha \in [0,1]$ . Las condiciones de Kuhn-Tucker son
$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha x_1 ^{\alpha -1} - \lambda p_1 + \mu_1=0,\\ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 1 - \lambda p_2 + \mu_2 =0,\\ p_1x_1 + p_2x_2 \leq w,\\ x_1\geq 0,\\ x_2 \geq 0,\\ \lambda(p_1x_1 + p_2x_2-w)=0,\\ \mu_1x_1 = 0,\\ \mu_2x_2=0,\\ \lambda \geq 0, \quad \mu_1 \geq 0, \quad \mu_2 \geq 0.\\ \end{equation}$
Si considero las soluciones de frontera con $x_1=0$ y $x_2>0$ entonces por la condición de holgura complementaria tenemos $\mu_1 \geq 0$ y $\mu_2=0$ .
Desde $\nabla u(x_1,x_2) \gg 0$ y $p_1,p_2 > 0$ , $\lambda > 0$ . La restricción del conjunto de presupuestos es vinculante (la ley de Walras se cumple). Por lo tanto, mi candidato para el óptimo es $x_2=w/p_2$ .
Las condiciones necesarias (y en este caso también suficientes) de Kuhn-Tucker para $x_2=w/p_2$ siendo óptimo restringir a
$\begin{equation} \alpha x_1 ^{\alpha -1} \leq \lambda p_1 ,\\ 1 = \lambda p_2,\\ x_1 = 0,\\ x_2 \geq 0. \end{equation}$
Dividiendo la primera condición por la segunda obtenemos
$MRS_{1,2}(x_1,x_2)= \alpha x_1 ^{\alpha -1} \leq \dfrac{p_1}{p_2}$
pero entonces no sé cómo proceder.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un tema interesante surgió al intercambiar comentarios relacionados con @MichaelGreineckeranswer. Así que vamos a explorar esto formalmente
Afirmación: No hay límites solución con $x_1 = 0$ .
El agotamiento del presupuesto se mantiene, así que con $x_1 = 0$ tendremos $U=x_2 = w/p_2$ . Así que, para intentar refutar la afirmación, examinamos bajo qué condiciones se cumple la siguiente desigualdad:
$$\frac{w}{p_2} > x_1^{\alpha} + x_2,\quad p_1x_1 + p_2x_2 = w.$$
Utilizando la restricción presupuestaria para resolver $x_2$ podemos reescribir esto
$$\frac{w}{p_2} > x_1^{\alpha} + \frac{w-p_1x_1}{p_2}\;\implies\; \frac{p_1}{p_2}x_1 > x_1^{\alpha} \implies x_1^{1-\alpha} > \frac{p_2}{p_1}$$
$$ \implies x_1 > \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/(1-\alpha)} \tag{1}$$
Así hemos obtenido: La utilidad de consumir $x_2$ será mayor que la utilidad de cualquier plan de consumo en el que el paquete de consumo incluya una cantidad de $x_1$ más alto que el lado derecho de $(1)$ .
La palabra crucial es "mayor", porque implica que los paquetes que incluyen cantidades estrictamente positivas de ambos $(x_1, x_2)$ y mientras la cantidad de $x_1$ es baja que el lado derecho de $(1)$ son superiores en términos de utilidad que consumir $x_2$ sólo.
Así que @MichaelGreinecker tiene razón: el conjunto de soluciones no incluye un paquete con cero $x_1$ .
