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Euler de Discretización para el uso con la simulación de Monte Carlo y Local de la Volatilidad del Modelo

Como en el título, estoy trabajando en la ejecución de simulaciones de Monte Carlo para el precio de opciones con el Local de la Volatilidad del modelo como un proyecto. Sólo quiero asegurarme de que estoy a la comprensión del proceso, especialmente la discretización correctamente.

El riesgo neutral dinámica, conforme a la Volatilidad del modelo es:

$$ \frac{d S_t }{S_t } = \mu_t dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$

La aplicación de Itô del lema da:

$$ d \ln(S_t) = (\mu_t-\frac{1}{2}\sigma^2(t,S_t)) dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$

El uso de Euler-Maruyama esquema de discretización de la simplicidad:

\begin{align} \ln(S_{t+\delta t}) &= \ln(S_{t}) + \int_t^{t+\delta t}(\mu_t-\frac{1}{2} \sigma^2(u,S_u)) du + \int_t^{t+\delta t} \sigma(u, S_u) dW_u \\ &\approx \ln(S_{t}) + (\mu_t - \frac{1}{2} \sigma^2(t,S_t)) \delta t + z \sqrt{\sigma^2(t, S_t)\delta t} \tag{1} \end{align}

Entonces puedo incorporar el local de la volatilidad del modelo (y la inclinación/la sonrisa en mi simulaciones por dividir el intervalo de tiempo entre 0 y T en pequeños intervalos y utilizar la volatilidad dada por el local de la volatilidad de la superficie y el tiempo paso, conecte estos dos en (1) (suponiendo que yo pueda construir un suave LV de la superficie).

Tengo dos preguntas.

1/ ¿Sería correcto usar la deriva tasa igual a la tasa libre de riesgo para las opciones de precios ?

2/ Si quiero utilizar simulaciones de Monte Carlo para tener una idea sobre la probabilidad de que el activo subyacente de que se terminen entre un intervalo después de un período de tiempo definido, entonces yo tendría que usar el "rendimiento esperado" del activo subyacente, en lugar de la tasa libre de riesgo ?

Gracias!

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oliversm Puntos 515

El uso de la tasa libre de riesgo para los precios

Utiliza la tasa libre de riesgo (utilizando el riesgo neutral medida $\mathbb{Q}$), de modo que usted puede utilizar la fórmula $$ V(t) = \underbrace{\exp(-r(T-t))}_{\text {, porque se utilizó $\mathbb{Q}$}} \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}(P(S_T)), $$ donde debido a que se utilizó $\mathbb{Q}$ hemos sido capaces de descuento la expectativa después de hacer todas las simulaciones MC. Si desea utilizar la medida física $\mathbb{P}$ , entonces usted necesita para mover un factor de descuento en el interior de la expectativa, y todas las cosas se vuelven un poco más torpe.

El uso de la tasa libre de riesgo para el cómputo de probabilidades

Para obtener la probabilidad de algún evento, $A$ sucediendo en el tiempo $T$ el uso de la física de medida $\mathbb{P}$ y hacer uso de $$ \mathbb{P}(A_T) = \mathbb{E}^{\mathbb{P}}(\mathbb{1}_{\{S_T\en A_t\}}), $$ y, a continuación, hacer uso de la normalidad de Monte Carlo para el cálculo de la expectativa.

Un comentario en tu Euler-Maruyama esquema de

Si usted desea simular $\log(S_t)$ en lugar de $S_t$ , a continuación, asegúrese de que su local de la volatilidad de modificar adecuadamente el uso de $\log(S_t)$. En una nota más importante, para monótona de las transformaciones tales como la toma de $\exp(\cdot)$ entonces el intervalo de confianza que tenía para $\log(S_t)$ va directamente te dan un intervalo correcto para $S_t$. En general, aunque esto no es cierto, y puede ser visto fácilmente, como si se llevó $\sin(\cdot)$. (En honor a la verdad no puedo pensar en ningún lugar común, ejemplo(s) de esto, pero no deja de ser algo a tener en cuenta).

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