La convexidad de una curva de indiferencia resulta del hecho de que el valor absoluto de su derivada (negativa), que es la tasa marginal de sustitución, está disminuyendo. ¿Pero por qué decimos que es convexa hacia el origen?
¿Qué es una función implícita que es convexa y cóncava hacia el origen?
Creo que lo que la gente quiere decir cuando dicen "convexo al origen" (o a cualquier punto $p$) es que la función es convexa cuando se mira en una nueva base, es decir, la base resultante de una rotación tal que el nuevo eje x (llamémosle x') es, hasta una constante, tangente a la CI y la distancia $|p-IC|$ se minimiza en ese punto de tangencia ($w$).
La expresión intenta transmitir una noción visual de convexidad. Es "convexa al origen" en el sentido de que si "nos paramos" en el origen, el punto $(0,0)$, y "miramos hacia" el gráfico, lo percibiremos como convexo.
En contraste, si nos paramos "encima" de dicho gráfico mirando hacia él, tomando "nuestra" posición como el origen, será cóncavo. Esta "relatividad" sospecho que proviene de la física y la arbitrariedad del origen del sistema de coordenadas allí.
Yo también he reflexionado sobre esta pregunta.
Encontré una definición interesante en el libro 'Existence and Optimality of Competitive Equilibria' de Charalambos D. Aliprantis, Donald J. Brown, Owen (ver página 9). La cito aquí:
"Matemáticamente, una curva 'convexa hacia el origen' se describe diciendo que si $A$ y $B$ son dos puntos en la curva, entonces un rayo que pase por el origen $O$ y cualquier punto $X$ en el segmento de línea $AB$ encontrará la curva como mucho en un punto $D$ entre $O$ y $X$". EDITAR - esto debería decir 'exactamente un punto $D$ entre $0$ y $X$ en lugar de como mucho uno; el autor parece haber cometido un error.
Bajo esta definición, una curva en forma de la mitad izquierda de una parábola en forma de U, pero que nunca alcanza un punto en el que su derivada sea 0, es el tipo de curva de indiferencia convexa al origen que soñamos como economistas. Si permitiéramos que la pendiente de la curva de indiferencia fuera positiva después de algún punto entonces sería posible encontrar dibujar una línea desde el origen que cruce dos puntos de la curva, en cuyo caso la curva no sería convexa al origen.
Cuando una función de utilidad es una función de dos variables x e y, una curva de indiferencia es convexa al origen si la derivada de las curvas de indiferencia siempre es negativa y las segundas derivadas son positivas. Es decir, las curvas de indiferencia bajan siempre pero la pendiente de la pendiente aumenta (de un valor negativo a un valor menos negativo) a medida que nos desplazamos hacia la derecha. Es decir, la tasa marginal de sustitución (el negativo de la pendiente de la curva de indiferencia o equivalente, la magnitud de la pendiente de la curva de indiferencia) disminuye a medida que nos movemos hacia la derecha a lo largo de una curva de indiferencia.
Saludos,
Dutchman
Editar en respuesta al comentario de Giskard:
Giskard tiene razón, la definición tendría que ser modificada a exactamente uno.
No lo entiendo. "un rayo que pasa por el origen $O$ y cualquier punto $X$ en el segmento de línea $AB$ se encontrará con la curva como máximo en un punto $D$ entre $O$ y $X". Me parece que esto funciona incluso si la función de utilidad es estrictamente cóncava. Por ejemplo, $U(x, y) = x^2 + y^2$ tiene esta propiedad. Tal vez si la definición fuera "exactamente en uno" y no "como máximo en uno".
Nota: esta respuesta es más matemáticamente complicada que a nivel universitario, pero intentaré dar también intuición.
Creo que es más fácil pensar en este problema en términos de preferencias. Una relación de preferencia $\succsim$ sobre un conjunto de alternativas $X$ es convexa si $$x \succsim y \Rightarrow \lambda x + (1-\lambda) y \succsim y$$ para cada $\lambda \in (0,1]$.
Básicamente, lo que esto dice es que si me gusta x más que y, también me gusta cualquier combinación entre ellos mejor que y. Así que, básicamente, si estoy en y, entonces me gustaría acercarme lo más posible a x con respecto a y.
Para visualizar esto, considera estar en algún valor en una curva de indiferencia arbitraria para preferencias convexas (por ejemplo, función de utilidad Cobb-Douglas). Elije otro punto que esté en una curva de indiferencia estrictamente más alta. Luego puedo dibujar una línea recta entre los dos paquetes, y todo en esa línea es mejor que donde empecé. Gráficamente, esto debería ser obvio, ya que todo entre los dos puntos también debería estar en una curva de indiferencia estrictamente más alta. Matemáticamente hablando, esto es lo mismo que decir que el conjunto de contorno superior para x, $\{y : y \succsim x\}$ es un conjunto convexo para cada x.
Me gusta más el agua que la fanta, pero la fanta mezclada con agua es un desastre y preferiría tomar solo fanta. Pero entiendo tu punto.
"Por lo tanto, en esencia, si estoy en y, entonces me gustaría acercarme lo más posible a x con respecto a y." Esto no es cierto. Tomando preferencias Cobb-Douglass simétricas e $y = (0,1)$, $x = (1,0.01)$ preferiría quedarme en algún lugar cercano a $\lambda = 1/2$ en lugar de acercarme lo más posible a $x".
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