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La normalidad o Log-Normalidad de Regular Devuelve

Otra vieja pregunta en este sitio (Cómo simular los precios de las acciones con un Movimiento Browniano Geométrico?) me inspiró a hacer la siguiente pregunta: si asumimos que los rendimientos podrían ser distribuidos normalmente, no que totalmente invalida la idea detrás del modelo de GBM?

Y viceversa, si nos gusta el modelo de GBM y suponemos que el stock, los precios son de registro-normalmente distribuida, eso no implica que regular las devoluciones no se distribuye normalmente?

Específicamente:

Vamos a denotar $R_i$ como regular devuelve y vamos a suponer que estos están distribuidos normalmente:

$$R_i=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \Delta t + \sigma W(t)$$.

Vamos a denotar $r_i$ como registro de devoluciones, que se define como $r_i = ln \left( \frac{S_{i+1}}{S_i} \right)$. Entonces:

$$ R_i = e^{r_i} - 1 $$

$$ r_i=ln(R_i+1) $$

Si suponemos que $R_i$ están distribuidos normalmente, luego $ln(R_i+1)$ es indefinido, porque distribución Normal produce valores negativos y $ln(negativo)$ es indefinido.

(Edit: en cuanto a los comentarios de abajo, ahora me doy cuenta de que este es un "estúpido", pensó desde regular las devoluciones son trivialmente delimitada por debajo de -1, por lo que el registro no puede ser nunca negativo: yo al principio solo se centra en la hipotética idea de regular las devoluciones están normalmente distribuidos, es decir, sin límites.

Sin embargo, el siguiente punto sigue siendo válido: si $R_i$ se supone , aproximadamente, de "normalidad" distribuido, pero limitada por -1 de abajo, luego $ln(R_1 +1)$ todavía no se registro una distribución normal, por lo que la afirmación de que "suponiendo que $R_i$ a una distribución normal, se invalida la hipótesis de que el modelo de GBM" aún se mantiene).

Por este razonamiento, los creyentes en el modelo de GBM diría: regular las devoluciones no se distribuye normalmente, porque nos gusta la idea de los precios de las acciones se log-normal (es decir, nos gusta que el futuro de la población-precio de la distribución condicionada a que el valor actual es log-normal: no puede ser negativa y no tiene un límite superior, que refleja el comportamiento real esperamos a partir de las existencias). Por lo tanto, basado en el modelo de GBM, regular las devoluciones tienen que ser el registro-normalmente distribuida (cambiado por "-1").

El razonamiento de la otra manera, estoy bastante seguro de que he visto algunos papeles (disculpas, no tienen un vínculo y no puede recordar el nombre de los autores) que argumentan que la evidencia empírica sugiere que el uso regular devuelve están distribuidos normalmente. De hecho, sólo un rápido pensamiento filosófico: ¿por qué no hacerlo? Los seres humanos utilizan vuelve a mirar a las inversiones, NO registro de las devoluciones. Parecería sensato en el primer pensamiento que estas devoluciones pueden ser tanto positivos como negativos, con una gran probabilidad de masa centrada en el cero (o de la inflación, si $\mu$= inflación): es decir, una "normal" de la distribución. Así que si nos entretener a la idea de regular devuelve a una distribución normal, que parecen invalidar la idea de que el modelo de GBM.

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drN Puntos 571

Tienes razón, pero una GBM no asumir que el porcentaje de devoluciones están distribuidos normalmente. Se trata de log-devuelve.

  • Si el registro de devolución $r_t=\ln\left(\frac{S_{t+dt}}{S_t}\right)$ es normalmente distribuida (GBM asunción), luego $r_t$ de hecho puede ser cualquier arbitrariamente grandes (positivos o negativos) número con probabilidad positiva. Esto también implica que los precios de las acciones son de registro-normalmente distribuida.
  • Vamos ahora $\tilde{R}_t=e^{r_t}=\frac{S_{t+dt}}{S_t}$ ser el rendimiento bruto, que es obviamente positiva.
  • Vamos a $R_t=\tilde{R}_t-1$ ser el porcentaje de retorno, que está delimitada por debajo de $-1$ de los de arriba.

Si suponemos que $\mathrm{d}S_t=\mu S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}B_t$, sabemos que $r_t$ está normalmente distribuida. Sin embargo, $R_t=f(r_t)$ con $f(r)=e^r-1$ no es normalmente distribuida. Sólo se derivan de la distribución de $R_t$ y compararlo con el log-normal de la densidad.

Así, la hipótesis de una GBM no conducen a porcentaje de devoluciones están normalmente distribuidos. Muy por el contrario, ellos están delimitadas por debajo de $-100\%$ (usted no puede perder más de lo que invirtió). Así, $r_t=\ln(R_t+1)$ sólo podría causar un problema si $R_t=-100\%$ pero aun que realmente no pueden suceder en una GBM mundo: esto requeriría el precio de las acciones a ser cero en el futuro (bancarrota). Pero el rango de un registro-aleatorias distribuidas normalmente variable es $(0,\infty)$, tiene que ser estrictamente positivo. Por lo tanto, si $r_t$ es normal (GBM es cierto), entonces $R_t>-1$ y $r_t=\ln(R_t+1)$ no es ningún problema.

Hago un punto final

  • Yo no creo por un segundo que cualquier tipo de retorno sea distribuido normalmente (creo que de colas de grasa, asimetría, heterocedasticidad, etc.) Mandelbrot y la Fama que ya trabajó en la no-normalmente distribuida vuelve de nuevo en la década de 1960...

2voto

Daniel Wright Puntos 11

El retorno de $R_i$ como se expresa en $$R_{i+1,i}=\frac{S_{i+1}-S_i}{S_i}=\mu \Delta t + \sigma \Delta W(t_{i+1},t_i)$$ no es posible.

Para ver esto, vamos a obtener las ganancias por encima de los dos pequeños pasos de tiempo de $\Delta t$ cada uno. Entonces $$R_{i+2,i+1}=\frac{S_ {+2}-S_{i+1}}{S_{i+1}}= \mu \Delta t + \sigma \Delta W(t_ {+2},t_{i+1})$$ pero $$R_{i+2,i}=\frac{S_ {+2}-S_{i}}{S_{i}}= 2 \mu \Delta t + \sigma \Delta W(t_ {+2},t_{i})$$ Mientras que el lado derecho es aditivo, la izquierda no es porque $$R_{i+2,i} \neq (R_{i+2,i+1} + R_{i+1,i})$$.

Para el registro de devolución $r_{i+1,i}$, $$ r_{i+1,i} = \ln\frac{S_{i+1}}{S_i}$$ sin embargo, ese problema no existe porque, en virtud de la logarítmica de la regla del producto $$ r_{i+2,i} = ( r_{i+2,i+1} + r_{i+1,i} ) $$ sostiene.

Por lo que el $R_{i+1,i}$ no puede ser distribuido normalmente con la deriva.

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