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¿Por qué la tasa de corto en el Casco Blanco modelo siguen una distribución normal?

Considere la posibilidad de Casco Blanco modelo $dr(t)=[\theta(t)-\alpha(t)r(t)]dt+\sigma(t)dW(t)$ cuando se resuelve el SDE encima tenemos a $r(t)=e^{-\alpha t}r(0)+\frac{\theta}{\alpha}(1-e^{-\alpha t})+\sigma e^{-\alpha t}\int_{0}^{t}e^{\alpha u}dW(u) $ y cuando tomamos la expectativa y la varianza tenemos $r(t) \sim N(e^{-\alpha t}r(0)+\frac{\theta}{\alpha}(1-e^{-\alpha t}),\frac{\sigma^2}{2\alpha}(1-e^{-\alpha t}))$.

Sé el calcular cómo encontrar el SDE y encontrar la expectativa o la varianza, pero No entiendo por qué $r(t)$ tiene distribución normal.

gracias.

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The Brawny Man Puntos 447

Este es un caso especial de la cuestión de por qué $$ \int_0^T f(t) dW_t $$ normalmente se distribuyen de forma continua la función $f(t).$ Esta Ito integral se puede aproximar por una suma $$ \sum_{i=0}^{N-1} f(i T/N) (W_{(i+1)T/N} - W_{i T/N}) .$$ La Browniano incrementos de $(W_{(i+1)T/N} - W_{i T/N})$ son independientes normalmente distribuidas variables aleatorias. El punto clave es que la suma de los independientes de variables normalmente distribuidas de nuevo está normalmente distribuida.

3voto

otto.poellath Puntos 1594

Por simplicidad, suponemos que $\alpha$ es una constante positiva. Usted necesita demostrar que, para cualquier $t>0$, \begin{align*} M_t = \int_0^t e^{\alpha u} dW_u \end{align*} está normalmente distribuida, donde $\{W_t, \, t \ge 0\}$ es un estándar de movimiento Browniano con respecto a la filtración de $\{\mathscr{F}_t,\, t \ge 0\}$. Aquí, utilizamos el tiempo-se ha cambiado el movimiento Browniano técnica. Por $t\ge 0$, deje que $\mathscr{G}_t = \mathscr{F}_{\frac{1}{2}\ln(1+2t)}$. Considerar el proceso $X=\{X_t, t \geq 0\}$, donde \begin{align*} X_t = \int_0^{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} e^{\alpha u} dW_u. \end{align*} Entonces $X$ es una martingala continua con respecto a la filtración de $\{\mathscr{G}_t,\, t \ge 0\}$. Por otra parte, \begin{align*} \langle X, X\rangle_t &= \langle M, M\rangle_{\frac{1}{2}\ln(1+2t)}\\ &=\int_0^{\frac{1}{2}\ln(1+2t)} e^{2u} du =t. \end{align*} Por Levy martingala caracterización de movimiento Browniano, $\{X_t, t \ge 0\}$ es un movimiento Browniano. Que es, por $t >0$, $X_t$ está normalmente distribuida. En consecuencia, para cualquier $t >0$, \begin{align*} M_t &= \int_0^t e^{\alpha u} dW_u\\ &=X_{\frac{1}{2} e^{2}-1 )} \end{align*} se distribuye normalmente, y $r_t$ también está normalmente distribuida.

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