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Los límites de integración al aplicar estocástico teorema de Fubini para el movimiento Browniano

Estoy buscando la solución por debajo de Quantuple, es un bonito lugar, sucinto de la solución, pero estoy confundido acerca de cómo los límites de las integrales en la segunda línea vienen. Podría alguien por favor elaborar en que parte?

Integral de Movimiento Browniano w.r.de un Tiempo t

Gracias

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Dan R Puntos 1852

La igualdad que usted está preguntando acerca de es

$$ \int_0^t \int_0^s \mathrm{d}W_u \mathrm{d}s = \int_0^t \int_u^t \mathrm{d}s \mathrm{d}W_u. $$

Cuando la aplicación de Fubini, usted necesita para asegurarse de que el dominio que se va a integrar a más no cambia. En el lado izquierdo, tanto $$ s toma valores en $[0, t]$ y para cualquier $s$, $u \[0, s]$. Ver el siguiente gráfico.

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Ahora, al invertir el orden de integración, deja que $u$ ir desde $[0, t]$. Para integrar sobre la misma área, para cualquier $u$, usted necesita dejar $s \in [u, t]$. Ver la segunda trama, que es, básicamente, la primera de un espejo a lo largo de la diagonal.

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