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Pregunta tonta: es neutrales al riesgo de precios teniendo esperanza condicional?

Pregunta tonta: es neutrales al riesgo de precios teniendo esperanza condicional? $\etiqueta{1}$

En tratando de recordar intuición para los neutrales al riesgo de precios, creo que he leído que debemos de precios de los derivados del riesgo-neutral debido a que el riesgo ya se ha incorporado en la bolsa de valores o algo. Yo también creo recordar NNT diciendo algo acerca de cómo cierta información es irrelevante en el precio del petróleo si la información es pública.

Esto me hizo pensar neutrales al riesgo de precios en términos de la esperanza condicional.

Simple, supongo, pero no fue discutido en clases a partir de esperanza condicional y Radon-Nikodym enseñaron después de un período de modelo.

De lo que recuerdo de aquel período de modelo:

$$(\Omega \mathscr F, \mathbb P) = ((u,d),2^\Omega \text{mundo real}))$$ Bonos: $$\{B_t\}$$ $$B_0=1, B_1 = 1+R$$ Existencias: $$\{S_t\}$$ $$S_0 \en (0,\infty)$$ $$\mathbb P(S_1(u) = S_0u) = p_u > 0$$ $$\mathbb P(S_1(d) = S_0d) = p_d = 1 - p_u$$ Opción call europea: $X$ $$X(u) = S_1(u) - K$$ $$X(d) = 0$$ $$\text{Precio de proceso:} \ \{\Pi(X,t)\}$$

donde $t=0,1, u > 1+R > d > 0$.

Se puede demostrar que

$$\Pi(X,0) = \frac{1}{1+R}E^{\mathbb Q}[X] = \frac{1}{1+R}(q_uX(u) + q_dX(d))$$

donde $q_u, q_d$ son neutrales al riesgo probabilidades por debajo de $\mathbb Q$, equivalente a $\mathbb P$

También, creo que $\sigma(S_1) = \sigma(X) = \{\emptyset, \Omega \{u\}, \{d\}\}$

Tonta la pregunta se reformula:

$$\exists Z \in \mathscr L^1(\Omega \mathscr F, \mathbb P) \ \text{s.t.} \ E^{\mathbb Q}[X] = E^{\mathbb P}[X|Z]? \etiqueta{2}$$

Bueno, el lado izquierdo es una constante, mientras que el lado derecho, una variable aleatoria así que no estoy seguro de que eso tendría sentido

¿

$$\exists Z \in \mathscr L^1(\Omega \mathscr F, \mathbb P) \ \text{s.t.} \ E^{\mathbb Q}[X] = E^{\mathbb Q}[E^{\mathbb P}[X|Z]] \etiqueta{3}?$$

  • Por $(2)$,

  • Una cosa que me hizo:

    1. $E^{\mathbb Q}[X]$ es constante y por lo tanto $Z$medibles $\forall \ Z \in \mathscr L^1(\Omega \mathscr F, \mathbb P)$

    2. $$\int_z E^{\mathbb Q}[X] d \mathbb P = \int_z X d \mathbb P \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$

$$\ffi E[E^{\mathbb Q}[X]1_z] = E[X1_z] \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$ $$\ffi E^{\mathbb Q}[X]E[1_z] = E[X1_z] \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$ $$\ffi E^{\mathbb Q}[X]\mathbb P(z) = E[X1_z] \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$ $$\ffi \mathbb P(z) = \frac{E[X1_z]}{E^{\mathbb Q}[X]} \ \forall \ z \ \en \ \sigma(Z)$$

No parece ser un a $Z$.

  • Otra cosa que me hizo: Bueno, me hizo pensar de Radon-Nikodym (duh)

$$E^{\mathbb Q}[X] = E^{\mathbb P}[X \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}]$$.

Supongo que $Z = \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ de lo contrario, no está seguro de cómo lo que es relevante, pero supongo que dado que $$\mathbb Q(z) = \int_z \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} d \mathbb P \ \forall z \in \sigma(Z) \subseteq 2^{\Omega}$$,

$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ es una versión de $E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} | Z]$

  • Gee cómo informativo. Bueno, creo que $\sigma(Z)$ puede ser sólo sea $\{\emptyset, \Omega\}$, en cuyo caso el $Z$ es cualquier (casi seguramente?) constante variable aleatoria o $2^{\Omega} = \sigma(X) = \sigma(S_1)$, en cuyo caso $q_u = 1_{u}$, lo que tendría sentido iff $q_u$ es degenerado, que supongo que viola la equivalencia de la asunción.

  • Por $(3)$,

Supongo que $Z=S_1$? No estoy seguro de lo que dice. Estaba un poco esperando (lol) que el mundo real las probabilidades de $E[1_A]$ y neutrales al riesgo probabilidades de $E[1_A | B] = \frac{E[1_A1_B]}{E[1_B]}$ como serían, respectivamente, antes de la P $(A)$ y posterior $P(A|B)$ probabilidades.


Edit: $$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = \frac{q_u}{p_u}1_{u} + \frac{q_d}{p_d}1_{d}$$ ?

Basado en la Sección 4.5 de Etheridge Un Curso de Cálculo Financiero, supongo

$$\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = (\frac{q_u}{p_u})^u(\frac{q_d}{p_d})^{1-u}$$

Esto evita que el indicador de funciones en favor de los exponentes como en el teorema binomial, binomial o modelo de distribución binomial.

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2voto

Snehes datta Puntos 8

El riesgo de los precios aplicados en realidad no está relacionada con la probabilidad real $\mathbb P$. En su lugar se podría decir que el precio en vez de $k$ es la esperanza condicional de la futura rentabilidad dada la historia hasta el momento de $k$: por lo que $V_k=E(V_n\mediados de S_1,\dots, S_k)$ (en el cero caso de interés).

Riesgo-neutro precio se reduce a la siguiente.

En el periodo de modelo binomial, se garantiza que el valor de la opción de $V_1$ en el momento 1 será una función lineal del valor de las acciones en el tiempo 1, $S_1$. Eso es porque entre cualquier dos puntos $(S_1(H),V_1(H))$ y $(S_1(T),V_1(T))$ en el plano no puede ser dibujado una línea recta. Así $$V_1=\alpha S_1+\beta$$ constantes $\alpha$, $\beta$.

Ahora suponemos que el precio indicado de la bolsa de valores en el tiempo 0, $S_0$, es la correcta. (Así que no estamos reflexionando sobre la posibilidad de que tal vez el stock está mal de precio.)

Luego, por el principio de que

el valor de los dos coches de la mañana es dos veces el valor de uno de los coches del mañana,

(por lo tanto, estamos por supuesto, en la comercialización de estos coches, no les conducción... es decir, no asociar ningún tipo de utilidad con ellos) debemos tener $$V_0=\alpha S_0+\beta$$ (así, en el interés cero caso). Eso es todo, ahora tiene un precio de la opción y encontró que el precio será de $V_0$.

Desde que era sólo una sangre fría análisis del precio correcto, no estamos mostrando cualquier positiva o negativa actitud hacia el riesgo ... así es neutrales al riesgo.

0voto

zcrar70 Puntos 133

Tratando de responder a mi pregunta.

3 incoherentemente mal presentado y objetivos:

Objetivo 1: ¿por Qué $E^{\mathbb Q}[X]$ e no $E^{\mathbb P}[X]$ en la computación de los precios, en términos de esperanza condicional?

Considere la posibilidad de la esperanza condicional $E^{\mathbb P}[X|\mathscr G]$ donde $\mathscr G \subseteq \mathscr F$. Entonces, tenemos 2 casos:

  1. $\mathscr G = \mathscr G_0 := \{\emptyset, \Omega\} \E^{\mathbb Q}[E^{\mathbb P}[X|\mathscr G]] = E^{\mathbb P}[X]$
  2. $\mathscr G = \mathscr F \E^{\mathbb Q}[E^{\mathbb P}[X|\mathscr G]] = E^{\mathbb Q}[X]$

Observamos que $E^{\mathbb P}[X]$ es el doble de expectativa con $\mathscr G = \mathscr G_0$, lo que no se debe usar porque...idk.

Objetivo 2: ¿Cuál es $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$?

Parece que los posibles candidatos son $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P} = A1_u + B1_d$ que satisfacer $E[X \frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}] = X_uq_u+X_dq_d$. Escribir $X=X_u1_u+X_d1_d$, creo que podemos intentar $A = \frac{q_u}{p_u}$ y $B = \frac{q_d}{p_d}$

Objetivo 3: Relacionar $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ a esperanza condicional:

No estoy seguro. $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ se supone que es una versión de algunos esperanza condicional. Aquí es lo que tengo hasta el momento:

  • $X$ es una versión de $E[X|\mathscr F]$
  • $E[X]$ es una versión de $E[X|\mathscr F_0]$
  • $E^{\mathbb Q}[X]$ es una versión de $E^{\mathbb Q}[X|\mathscr F_0]$

Pero es $\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}$ una versión de algo?

Además de $E[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}|\mathscr F]$ y $E^{\mathbb Q}[\frac{d \mathbb Q}{d \mathbb P}|\mathscr F]$ supongo

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