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Hace un proceso de Poisson convergen a un proceso de Ito en el largo plazo?

He oído que un proceso de Poisson "converge" a un Ito (difusión) proceso en el largo plazo. Sin embargo no veo cómo la función característica de la forma se transforma en la de este último. En qué medida podría esta convergencia se define en absoluto?

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user41374 Puntos 1

Hay, como para variables aleatorias, diferentes tipos de convergencias para procesos estocásticos. Probablemente te refieres a la convergencia en la Skorokhod topología de $J_1$. Esta es una convergencia concepto por $d$-dimensional cádlág procesos.

La convergencia de los procesos estocásticos $X_n \xrightarrow {\mathscr L} X $ en este sentido tiene si y sólo si las leyes $\mathscr{L}(X^n)$ convergen en el espacio de probabilidad medidas de cádlág funciones equipado con el Skorokhod topología.

Normalmente uno tiene que mostrar a las cosas:

  1. $(X^n)$ es firme (es decir, relativamente compacto)
  2. $X_n \xrightarrow {\mathscr L(D)} X$ para algún subconjunto denso $D \in \mathbb{R}_{\ge 0}$ (por ejemplo, la convergencia de finito-dimensional distribuciones)

Para un tratamiento completo de este tema, considere la posibilidad de Jacod & Shirayev: Límite de Teoremas para Procesos Estocásticos, o la más clásica de referencia Billingsley: la Convergencia de Medidas de Probabilidad.

Su pregunta para los procesos de Poisson ahora pueden ser respondidas con el Teorema IX.4.8. en Jacod&Shirjaeva. Considere la posibilidad de un proceso de Poisson compuesto $Y$, es decir, un proceso de Poisson $N$ , con una intensidad $\lambda$ y yo.yo.d. variables aleatorias $X_1,X_2, \dots$, s.t. $$ Y_t = \sum_{i=1}^{N_t} X_i, \quad t \ge 0. $$ Ahora esperamos que si los saltos $X^1,X^2,...$ se hacen más pequeños y la intensidad de $\lambda$ explota, que una convergencia a un movimiento Browniano puede contener.

Esto es confirmado por el Teorema IX.4.8: Considere $\lambda^n=n$, $X_1^n$ se distribuye normalmente con media cero y varianza $n^{-(1/2)}$. A continuación, el cuadrático de variación se calcula a $$ \int x^2 \lambda_n \phi\big(\frac{x}{a_n}\big) a_n^{-1}dx = \lambda_n (a_n)^2=1$$ donde $a_n=n^{-(1/2)}$. Esto muestra que $\tilde c^n \a 1$ en el Teorema IX.4.8. Junto con el hecho de que el proceso de límite no tiene saltos ($K=0$ en el mismo) y no a la deriva ($b=0$ en el mismo) esto produce que el límite es un movimiento Browniano.

Teorema IX 4.8: enter image description here

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David Rickman Puntos 2787

Si $X_t$ es de Poisson Proceso de Contar con la intensidad de $\lambda$, a continuación, la Martingala $M_t=X_t−\lambda t$ es llamado un Compensada Proceso de Poisson. Como $\lambda$ hace $gran M_t$ hace converger a un movimiento Browniano con la variación de la tasa de $\lambda$.

Esto puede ser visto mediante el uso de la "pesada llegadas" aproximación de la Distribución de Poisson: cuando la llegada de la tasa es grande el número de eventos por segundo, es aproximadamente Normal con una media de $\lambda$ y variación $\lambda$, por lo tanto, el aumento en la compensación procesar por segundo es N(0,λ).

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Paweł Hajdan Puntos 8004

Es sencillo mostrar un resultado más débil: Que un proceso de Poisson se convierte en una distribución normal, como $T$ se hace más grande. Un proceso de Poisson tiene incrementos independientes. Vamos a $X_T-X_0$ ser proceso de Poisson. Tomar un tiempo arbitrario paso $\Delta t$. Entonces $X_T-X_0=\sum \left(X_ {i+1)\Delta t}-X_{i\Delta t}\right)$. Por el Teorema Central del Límite, la suma de variables aleatorias IID extraída de una distribución con varianza finita converge a una variable aleatoria normal como el número de términos de enfoques infinito. Por lo tanto como $T \to \infty$, $X_T-X_0 \a \mathcal{N}\cdot, \cdot)$.

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