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Cómo determinar los componentes de Afín Estructura a Plazo de un Ohrnstein-Uhlenbeck?

Me pregunto cómo puedo determinar los componentes de $A(t,T)$ y $B(t,T)$ para el bono cupón cero precio de proceso de $p(t,T)=e^{(t,T)-r(t)B(t,T)}$? Los componentes se definen en el siguiente enlace: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_term_structure_model

El corto de la tasa de la dinámica sigue un Ohrnstein-Uhlenbeck, $dr(t)=(barra(t))dt+dW^Q(t)$

La solución hasta ahora:

Solución explícita para Ohrnstein-Uhlenbeck es,

$r(T)=r(t)e^{-a(T-t)}+\frac{b}{a}(1-e^{-a(T-t)})+\sigma \int_{t}^{T} e^{-a(T-t-u)} dW_u^Q$

Por riesgo-neutro de valoración,

$\Pi = E^Q_t[\frac{B(t)}{B(T)}r(T)B(T)]=B(t)(r(t)e^{-a(T-t)}+\frac{b}{a}(1+e^{-a(T-t)}))$

$B(t)=e^{-\int_{0}^{t} r(u)du}$

A partir de aquí no sé cómo resolver $A(t,T)$ o $B(t,T)$. Podría ser que estoy cansado. Agradecería un poco de orientación. Gracias.

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drN Puntos 571

Deje que $\mathrm{d}r_t=\mu(t,r_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,r_t)\mathrm{d}W_t$ ser un modelo para el corto de la tasa de bajo riesgo-neutral de la medida $\mathbb{Q}$. A partir de los bonos de la PDE \begin{align*} P_t + \mu(t,r) P_r + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2P_{rr} -rP=0, \end{align*} sujeto a $P(T,T)=1$ , cuya solución general es de $P(t,T)=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[e^{-\int_t^T r_u\mathrm{d}u}\mid\mathcal{F}_t\derecho]$ (siehe Feynman Kac).

Para obtener un ATS modelo, ahora `adivinar" que $P(t,T)=e^{(t,T)+r_tB(t,T)}$con \begin{align*} P_t(t,T) &=\big(A_t(t,T)+r_tB_t(t,T)\big)\cdot P(t,T), \\ P_r(t,T) &= B(t,T)\cdot P(t,T), \\ P_{rr}(t,T) &= B(t,T)^2\cdot P(t,T). \end{align*} Pluggig esta en el PDE, se obtiene \begin{align*} A_t(t,T) + \mu(t,r) B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma(t,r)^2B(t,T)^2 +(B_t(t,T)-1)i + =0. \end{align*} La terminal de condición de frontera se convierte en $A(T,T)=B(T,T)=0$.

En el Vasicek caso, $\mu(t,r_t)=\kappa(\theta-r_t)$ y $\sigma(t,r_t)=\sigma$. Por lo tanto, \begin{align*} A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) - \kappa r B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 +(B_t(t,T)-1)r &=0 \\ \implica A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2-(1-B_t(t,T)+\kappa B(t,T))r &=0. \end{align*}

Esta ecuación debe ser satisface para todos los $r$. Por lo tanto, se puede obtener el siguiente sistema de (de primer orden diferenciales ordinarias) las ecuaciones \begin{align*} \begin{casos} A_t(t,T) + \kappa \theta B(t,T) + \frac{1}{2}\sigma^2B(t,T)^2 &= 0, \\ 1-B_t(t,T)+\kappa B(t,T) &= 0, \end{casos} \end{align*} sujeto a $A(T,T)=B(T,T)=0$. Ahora resolver la segunda ecuación de la primera en la forma cerrada y entonces, con este resultado, se puede resolver la primera ecuación. A continuación, llegar a la norma de Vasicek de bonos fórmula de precios.

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