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Beneficio esperado en tiempo futuro

Deje que $a$, $b$, $c$, y $e$ ser constantes, $W_1$ y $W_2$ ser Browniano movimientos con correlación $\rho$y $f(t)$ y $g(t)$ ser determinista funciones del tiempo. Deje que $X$ satisfacer $$d(X(t))=(aX(t)+ef(t)g(t))dt+f(t)X(t)dW_1(t)+g(t)X(t)dW_2(t).$$ Calcular el valor esperado de $X(T)^2$ dado $X(t)$ para algunos $0\le t\le T$.

Si $e=0$, podemos utilizar Ito regla para escribir $d(\log X)$ como una expresión independiente de $X$. La integración da que $X(T)|X(t)$ es la log-normal. Si $e\neq 0$, $d(\log X)$ es ya independiente de $X$. No puedo pensar en una manera de evitar este problema.

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otto.poellath Puntos 1594

Basado en las ideas de esta pregunta, vamos a \begin{align*} M_t = e^{-a+\frac{1}{2}\int_0^t (f^2+g^2+2\rho fg)ds -\int_0^t(f dW_1(s)+gdW_2(s))}. \end{align*} Entonces \begin{align*} dM_t = M_t\Big[\big(-a + f^2+g^2 + 2\rho fg \big)dt - f dW_1(t)- gdW_2(t)\Big]. \end{align*} Por otra parte, \begin{align*} d(M_tX_t) &= M_t dX_t + X_t dM_t + d\langle M, X\rangle_t\\ &=e M_t f g dt. \end{align*} A continuación, \begin{align*} X_T = \frac{M_t}{M_T}X_t + e\int_t^T\frac{M_s}{M_T} f(s)g(s)ds. \end{align*} Ahora, usted debería ser capaz de calcular la esperanza condicional.

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