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Cómo encontrar el valor presente de una perpetuidad que no tiene un ritmo de crecimiento constante?

Tengo una perpetuidad problema donde una organización paga 50 igualdad de valores de las subvenciones cada año a perpetuidad, agregando un adicional de 5 becas cada año (es decir, 55 en el año 2, 60 en el año 3, etc.).

Sólo hemos estado muestra cómo hacer perpetuidad problemas con un ritmo de crecimiento constante (por ejemplo, el pago se incrementa en un 5% cada año), así que no estoy seguro de cómo lidiar con este.

Alguien tiene alguna visión?

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Alexandros B Puntos 131

Básicamente, usted desea calcular $$ \sum_{t=0}^{\infty} a_t \cdot d^t $$ donde $d$ es el factor de descuento y donde el valor que se paga por año se incrementa linealmente, que es $$ a_t = a_0 + b \cdot t. $$ Con algunos reordenamientos $$ \sum_{t=0}^{\infty} a_t \cdot d^t = \sum_{t=0}^{\infty} a_0 \cdot d^t + \sum_{t=0}^{\infty} b \cdot t \cdot d^t. $$ La primera mitad de este es una simple sucesión geométrica como el valor presente de una perpetuidad, por lo que $$ \sum_{t=0}^{\infty} a_0 \cdot d^t = \frac{a_0}{1-d}. $$ Para calcular la cantidad que vamos a utilizar un truco. $$ \sum_{t=0}^{\infty} b \cdot t \cdot d^t = b \cdot \sum_{t=1}^{\infty} t \cdot d^t. $$ A continuación, escribir \begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & d + 2\cdot d^2 + 3\cdot d^3 + 4\cdot d^4 + ... \end{eqnarray*} Usted puede cambiar esto (porque de convergencia absoluta) a \begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & d + 1\cdot d^2 + 1\cdot d^3 + 1\cdot d^4 + ... \\ \\ & & \hskip 11pt + 1\cdot d^2 + 1\cdot d^3 + 1\cdot d^4 + ...\\ \\ & & \hskip 45pt + 1\cdot d^3 + 1\cdot d^4 + ... \\ \\ & & ... \end{eqnarray*} Cada línea de este es una progresión geométrica, por lo que \begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & \hskip 7pt \frac{d}{1-d} \\ \\ & & + \frac{d^2}{1-d} \\ \\ & & + \frac{d^3}{1-d} \\ \\ & & ... \end{eqnarray*} Que es de nuevo una progresión geométrica, por lo tanto \begin{eqnarray*} \sum_{t=1}^{\infty} t\cdot d^{t} & = & \frac{d}{(1-d)^2}. \end{eqnarray*} Así $$ \sum_{t=0}^{\infty} a_t \cdot d^t = \sum_{t=0}^{\infty} a_0 \cdot d^t + \sum_{t=0}^{\infty} b \cdot t \cdot d^t = \frac{a_0}{1-d} + \frac{b \cdot d}{(1-d)^2}. $$

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