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Aplicar el Lema de Ito para exponencial de la martingala

$\newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}}$ Considere la posibilidad de la exponencial de la martingala, $$ \xi_t^\lambda = \exp \left\{ - \int_0^t \lambda_s \dd z_s - \frac 12 \int_0^T \lambda_s^2 \dd s \derecho\}, $$ que se utiliza en la declaración de Girsanov del teorema (esta martingala representa el Radón-Nykodym derivados $\frac{\dd \mathbb Q^\lambda}{\dd \mathbb P}$.).

Ejercicio 2.4 en Munk del libro de Activos Financieros de la Teoría de Precios de ofertas con la aplicación de Ito lema para este proceso.

Supongamos que $$ X_t = \frac 12 \int_0^t \lambda _s^2 \dd s + \int_0^t \lambda_s \dd z_s. $$ La parte (a) nos pide que sostienen que $\dd X_t = \frac 12 \lambda_t^2 \dd t + \lambda_t \dd z_t.$ Parte (b) pregunta: "Supongamos que el tiempo continuo proceso estocástico $\xi = (\xi_t)$ se define como $\xi_t = \exp\{-X_t\}$. Demostrar que $\dd \xi_t = -\lambda_t \xi_t \dd z_t$."

De manera informal, se puede argumentar la parte (a) aplicando el lema de Ito, \begin{align*} \dd X_t &= \left( \frac 12 \lambda_t^2 + \lambda_t \dd z_t\derecho) \dd t + \lambda_t \dd z_t \\ &= \frac 12 \lambda_t^2 \dd t + \lambda_t \dd z_t, \end{align*} y argumentando que $\dd z_t \cdot \dd t = 0$.

¿Cómo podemos resolver la parte (b)?

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saint_groceon Puntos 2696

$\newcommand{\dd}{\, \mathrm{d}}$ Si aplicamos el lema de Ito, entonces \begin{align*} \dd \xi_t &= -\xi_t \dd X_t + \frac 12 \xi_t (\dd X_t)^2\\ &= -\xi_t \left(\frac 12 \lambda_t^2 \dd t + \lambda_t \dd z_t\derecho) + \frac 12 \xi_t \lambda_t^2 \dd t \\ &= -\xi_t \lambda \dd z_t. \end{align*}

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