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La varianza de $\int_{t=o}^{T}\sqrt{|B(t)|}$ $dB(t)%$

Soy nuevo en el cálculo estocástico. Podría alguien por favor explique cómo podría calcular la varianza de

$\int_{t=o}^{T}\sqrt{|B(t)|}$ $dB(t)%$

Soy consciente de que lo primero tiene que calcular la expectativa, pero no estoy seguro de cómo ir sobre esto.

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Mircea M Puntos 46

Ciao, fresco ejercicio.

La mejor cosa que usted puede hacer es ver la integral como el SDE y, a continuación, utilizar Ito Lema. En este caso particular, se puede escribir: $$ Y_t = \int_0^t \sqrt{\left|B_s \derecho|} dB_s $$ así que: $$ dY_t = \sqrt{\left|B_t \derecho|} dB_t $$

La media es fácil de calcular, ya que este proceso estocástico no tiene drift (el $dt$ plazo), por lo que ha $0$ decir. Esto significa que la varianza es de solo $\mathbb{E}[Y_t^2]$.

En este punto, lo mejor es aplicar Ito derivado a $Y_t^2$ y, a continuación, tomar el valor esperado del resultado... me deja hacer el cálculo explícito!

$$ \begin{align} dY_t^2 & = 2Y_t dY_t + \frac{1}{2} 2d \langle Y_t \rangle \\ & = 2Y_t \sqrt{|B_t|}dB_t + |B_t| dt \end{align} $$

Puesto que se va a tomar el valor esperado de los términos podemos ignorar el primero desde que la conocemos se ha $0$ significar:

$$ \mathbb{E}[Y_t^2] = \mathbb{E}\left[ \int_0^t |B_s| ds\derecho] = \int_0^t \mathbb{E}[|B_s| ] ds $$

En este punto se puede calcular el valor esperado a partir de la distribución del movimiento Browniano: consulte este. El resultado es:

$$ \mathbb{E}[Y_t^2] = \sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_0^t \sqrt{s} ds = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{\pi}} \sqrt{t^3}. $$

Ok, tal vez la última parte acerca de la absoluta valute de $B_t$ no es tan útil en general, pero siempre es útil tratar de expresar lo que eres es la integración de términos de proceso estocástico y el uso de Ito Lema. De esta manera siempre se puede descomponer el integrando en la parte con cero significa (es decir, $\dots dW_t$) y la parte que le da un valor distinto de cero contribución al valor esperado (es decir, $\dots dt$).

Ciao Ciao! AM

3voto

kiks73 Puntos 205

Esta pregunta ya tiene una marcada aceptado la respuesta, pero vale la pena señalar que, si $B_t$ es un estándar de movimiento Browniano con respecto a una filtración de $\{\mathcal{F}_t\}$, $A_t$ es un adaptada proceso continuo de caminos, y $$Z_t = \int_0^t A_s \,\mathrm{d}B_s,$$ entonces $\mathbb{E}[Z_t] = 0$ y $$ \mathrm{Var}[Z_t] = \mathbb{E}[Z_t^2] = \int_0^t \mathbb{E}[A_s^2] \,\mathrm{d}s.$$ En su caso, lo que denota la integral como $Z_t$, \begin{align*} \mathrm{Var}[Z_t] &= \int_0^t \mathbb{E}[|B_s|] \,\mathrm{d}s \\ &= \mathbb{E}[|B_1|] \cdot \int_0^t \sqrt{s} \,\mathrm{d}s \\ &= \mathbb{E}[|B_1|] \cdot \frac{2^{3/2}}{3}. \end{align*} La ley de $B_1|$ es de una media de la distribución normal, que es fácilmente controlado tener expectativa $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$, por lo que la respuesta final es $$ \mathrm{Var}[Z_t] = \frac{(2t)^{3/2}}{3\sqrt{\pi}},$$ de acuerdo con el cálculo hecho por el usuario clarkmiao. Incidentically, ya que esta variación es finito, casi con toda seguridad para todos $t$, el proceso es una martingala para todos $t \geq 0$.

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