7 votos

El Teorema de Frisch-Waugh-Lovell: un ejercicio

Tengo una ecuación de la forma (todos los vectores): $y=X_1 \beta_1 +X_2 \beta_2 +u$ .

Me interesa saber si los estimadores de la OLS beta y los respectivos residuales para esta ecuación son los mismos que cuando aplicamos la OLS a las siguientes ecuaciones:

  1. $P_{X_1}y=P_{X_1}X_2 \beta_2 +v$
  2. $P_Xy=X_1 \beta_1 +X_2 \beta_2 +v$ ,

donde el $P_Z$ son la definición habitual de las matrices de proyección, utilizando $Z$ .

Así que he intentado usar el teorema de FWL, y tengo respectivamente:

  1. $ \hat\beta_2 = (X_2' P_{X_1}X_2)^{-1}X_2'P_{X_1}y$ y $ \hat v = (I- P_{X_1}X_2(X_2'P_{X_1}X_2)^{-1}X_2'P_{X_1})P_{X_1}y$ . Me preguntaba si calculé mal $ \hat u$ desde que miramos la ecuación 1, ya que ambos $y$ y $X_2 \beta_2 $ se proyectan en el espacio que abarcan las columnas de $X_1$ los residuos serían cero.
  2. $ \hat\beta_2 = (X_2' M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1}P_X y$ y $ \hat v = (I- M_{X_1}X_2(X_2'M_{X_1}X_2)^{-1}X_2'M_{X_1})P_{X}y$ . Sin embargo, no veo cómo la estimación de $ \beta_2 $ es igual en ambos casos, ya que si notas que aplicando la OLS a la ecuación 2, obtenemos $ \hat \beta =(X'X)^{-1}X'P_X y=(X'X)^{-1}X'y$ .

Cualquier ayuda sería apreciada.

Edición 1: bueno, descubrí cómo hacer el 2º punto. Tenemos que notar que $M_{X_1}P_X=(I-P_{X_1})P_X=P_X-P_{X_1}=P_X'-P_{X_1}'=(M_{X_1}P_X)'=P_X'M_{X_1}'=P_X M_{X_1}$ y que $ X_2'P_X=(P_X X_2)=X_2'$ . En cuanto al primer punto, no tengo ni idea...

0 votos

Me parece que estás confundiendo la matriz de proyección $P$ con la matriz del aniquilador/creador de residuos $M = I-P$ .

0 votos

@AlecosPapadopoulos Gracias por el interés. ¿Por qué dices eso?

5voto

Bernard Puntos 10700

Probablemente voy a recibir un montón de downvotes por esto, pero aquí está mi punto de vista no muy popular:

Creo que muchas veces tendemos a dispararnos en el pie al tratar de ser demasiado inteligentes con nuestro dinero. En toda nuestra astucia, olvidamos algunas reglas básicas sobre el funcionamiento del dinero:

  1. El ahorro probablemente le ayudará
  2. La deuda probablemente te perjudicará

Es mejor tener 0 deudas y una pequeña cantidad de ahorros que muchas deudas y muchos ahorros.

La deuda te morderá. Muchas veces incluso la "buena" deuda hipotecaria te morderá. Tengo varios amigos que han obtenido hipotecas sólo para descubrir que tuvieron que mudarse mucho antes de poder pagarla. Y no pudieron vender sus casas o las vendieron con pérdidas.

Cuando tienes una deuda, estás restringido. Alguien siempre está sosteniendo algo sobre tu cabeza. Estás atado a ello. Págala lo antes posible (dentro de lo razonable) mientras pones una cantidad decente en una cuenta de ahorro de alto rendimiento. Sólo después de que la deuda desaparezca, ve y sé inteligente con tu dinero.

0 votos

Alecos, gracias por tu respuesta. Creo que sólo estás enunciando el teorema del FWL. Lo que intentaba era utilizar el teorema FWL y comprobar si podía obtener algunas conclusiones de su uso...

0 votos

En la primera ecuación, esos resultados no provienen del FWL. Son los OLS habituales. Sin embargo, he utilizado el FWL en la segunda ecuación y en la ecuación inicial.

Finanhelp.com

FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X