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Prueba de aproximación de las fórmulas para las volatilidades implícitas

Estoy tratando de calibrar un local de la volatilidad de modelo para observar la volatilidad implícita sonrisas (no de las superficies!, solo una sonrisa dada por vencimiento fijo).

Me encontré con la siguiente aproximación, y pensé que podría conectar mi la volatilidad implícita de la fórmula, y resolver los locales de la volatilidad; $$\sigma_{i}^2(K,T) = \frac{\sigma^2(S(0), 0) + \sigma^2(K,T)}{2}.$$

$\sigma_i$ es la volatilidad implícita.

Mi pregunta es, no obstante, ¿de dónde viene esta aproximación viene?

Sé Dupire la fórmula, sabes que es una fracción de las dos integrales. No acabo de encontrar, pero es que desde que el aprox se deriva? Si es así, ¿cómo?

8voto

MayahanaMouse Puntos 71

Asumir el local de la volatilidad y de la dinámica: $$dS_t/S_t = \sigma(S_t) dW_t^\Bbb{Q} $$ justo cuando hemos asumido $r=0$, sin pérdida de generalidad (si $r$ no es cero, sólo se necesita de un cambio de la medida a los $T$-forward medida).

Supongamos que quisiéramos ajuste del mercado de la volatilidad implícita sonrisa $\Sigma(T,K)$.

No hay ninguna forma cerrada fórmula para expresar $\Sigma(T,K)$ en función de $\sigma(S_t)$.

Sin embargo, hay un montón de aproximaciones disponibles en la literatura:

  • Para el corto plazo, las opciones de ($T \to 0$), tenemos $$ \Sigma(T,K) \approxeq \frac{\ln(S_0/K)}{\int_K^{S_0} (s\sigma(s))^{-1} ds} $$ conocida como la mejor amiga de la aproximación (Berestycki, Busca & Florent - 2001). Usted puede obtener esta formulación por (1) la expansión de Dupire local de la volatilidad en el tiempo (2) asumiendo que la volatilidad implícita también puede ser ampliado en potencias de tiempo y la identificación de cero-ésimo orden en $T$ términos.

  • A más largo plazo de las opciones, se puede expandir la última fórmula para obtener: $$ \Sigma(T,K) \approxeq \Sigma_0(K) + \Sigma_1(K) T $$ con $$ \Sigma_0(K) = \frac{\ln(S_0/K)}{\int_K^{S_0} (s \sigma(s))^{-1} ds} $$ $$ \Sigma_1(K) = -\frac{\Sigma_0(K)}{\left( \int_K^{S_0} (s\sigma(s))^{-1} ds \derecho)^2} \ln \left( \frac{\Sigma_0(K)}{\sqrt{\sigma(S_0)\sigma(K)}} \right) $$

  • Para el corto plazo, las opciones de otra aproximación es debido a Pat Hagan (Hagan, Kumar, Lesniewski & Woodward - 2002) se lee: $$ \Sigma(T,K) \approxeq \sigma(\sqrt{S_0 K} ) $$

Referencias

  1. Berestycki, Busca, Florent. (2001). Asymptotics y calibración de los locales de la volatilidad de los modelos. Copia electrónica disponible aquí.

  2. Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward. (2002). La gestión de la sonrisa de riesgo. Wilmott Revista, 84-108. Copia electrónica disponible aquí

5voto

ccsv Puntos 506

@Quantuple la respuesta es correcta. No es exacto forma cerrada fórmula para llamar a los precios o implícita vols como una función de locales vols, que es único e irónico, teniendo en cuenta las fórmulas de la otra manera alrededor. La cosa más cercana a una práctica fórmula exacta, a mi entender, es la armónica corto plazo expansión dada en la respuesta.

Sin embargo, (y esta es una respuesta directa a su pregunta), el llamado "sigma-cero" fórmula proporciona una expresión exacta para el implícita tomo como una función de la local vols, aunque esta es una forma implícita de la fórmula, y la evaluación de algunos de sus términos, requiere de una implementación numérica. Por lo tanto, esta fórmula, a pesar de ser exacto, no es directamente utilizable en la práctica.

Aquí está la fórmula (esta es una fórmula más general que también funciona con volatilidad estocástica, para local de volatilidad, reemplace la esperanza condicional de la varianza local por el cuadrado de los locales vol):

from Antoine Savine, RiO 2018

  • El implícita la varianza es el promedio ponderado de los locales variaciones a lo largo del tiempo y de las manchas.
  • Los pesos son el producto de la densidad de probabilidad (que no se conoce analíticamente en locales vol modelos y debe ser calculada numéricamente, por ejemplo, con FDM través de la ecuación de Fokker-Planck) por el valor de gamma (calculada en Black-Scholes con el resultado implícita vol, haciendo que la fórmula implícita).

Para una demostración, por favor ver este video: Antoine Sabina, RiO2018 o acceder a sus diapositivas en SlideShare. También puede consultar mis notas de la conferencia aquí, diapositivas, 71-78.

Tenga en cuenta que el sigma cero fórmula se encontró también (pero no publicado) por Dupire, y su demostración es particularmente esclarecedor, en lo que se trata de un análisis de la cobertura de los errores.

A pesar de su impracticabilidad, esta fórmula ofrece una intuición profunda de cómo los locales vols combinan para producir opción Europea de los precios y de los volúmenes implicados, y ha sido la base de una gran cantidad de trabajo para encontrar más o menos precisa, más o menos complicadas prácticas aproximaciones, la más destacada por Blacher (véase su discurso en Río de 2018 en YouTube) y Gatheral (en su famoso libro de texto de la Volatilidad de la Superficie).

Por mucho, la más sencilla (pero definitivamente no es el más exacto!!) de estas aproximaciones es para nota, como se ve en la imagen, que de densidad de probabilidad es máxima en el acto de hoy, mientras que los rayos gamma es el máximo en la huelga en la madurez, por lo tanto, una simple aproximación es el promedio de las varianzas de estos dos puntos, ignorando el resto de la superficie.

Y esta es exactamente la aproximación que usted está preguntando acerca de :)

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