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Cómo medir la no-normal proceso estocástico?

Si entiendo derecho, Itô del lema nos dice que para cualquier proceso de $X$, que puede ser adaptado a un subyacente normal estándar Wiener medida $\mathrm dB_t$, y cualquier dos veces continuamente derivable la función $f$, $$\mathrm df(X_t) = f'(X_t)\mathrm dX_t + \frac 1 2 f"(X_t)\mathrm d[X_t] ,$$ donde $$[X_t]=\lim_{\|\Pi\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}\left(X_{t_i}-X_{t_{i-1}}\right)^2,$$ $0=t_0 < \cdots < t_n=t$ y $\|\Pi\|=\max_{1\le k\le n}|t_k-t_{k-1}|$, es la variación cuadrática. Nos permite ignorar todas las mayores variaciones de poder porque todos cumulants más que el segundo se desvanecen para la distribución normal. Pero la aditividad de cumulants bajo convolución nos lleva naturalmente a considerar la posibilidad de un proceso estocástico basado en una distribución arbitraria, con la única condición de que sea infinitamente divisible y poseer un momento de generación de función. Así que si nos vamos a $A_t$ ser la constante lineal-drift+martingala proceso de tener una distribución, y definimos el poder superior de las variaciones $$[A_t]_n=\lim_{\|\Pi\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^{n}\left(A_{t_i}-A_{t_{i-1}}\right)^n$$ a continuación, todos estos existen y son iguales a las correspondientes cumulants de la distribución de $A_t$. Esto complica Itô del lexema, que, de nuevo, si entiendo a la derecha, ahora debe ser escrita: $$\mathrm df(X_t) = f'(X_t)\mathrm dX_t + \sum_{k=2}^{\infty}\frac 1{n!} f^{(n)}(X_t)\mathrm d[X_t]_n ,$$, pero esto no es tan malo, porque todos estos mayores variaciones de poder convergen en probabilidad y la escala linealmente con el tiempo, excepto que ahora tenemos $f$ a ser infinitamente diferenciable. Así, partiendo de aquí, ¿cuáles son las consecuencias más importantes para el cálculo estocástico de negarse a asumir que un proceso puede ser adaptado a una medida basada en una distribución normal?

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John Rennie Puntos 6821

El método estándar para gestionar su tipo de problema (es decir, el trato con los procesos estocásticos que se nota presentada o construido gracias a un movimiento Browniano) es el uso de una medida de cambio.

El poder del movimiento Browniano es que usted tiene un montón de representación teoremas (Doob-Meyer teorema, el teorema de Wold, etc) que permite (gracias a un cambio de medida o un método de localización), le proporciona una forma de definir un espacio en el cual su proceso (o el valor residual del proceso una vez que se quita fácil lidiar con los componentes) se comporta como una martingala. Así que usted puede utilizar Itô en él.

El único efecto que puede cambiar la fórmula de Itô debe ser:

Para los demás, primero debe pensar acerca de la correcta limpieza del proceso y el cambio de la medida antes de hacer algo de fantasía, creo.

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