Aplicaciones/generalizaciones de un teorema de Debreu

Question

Me gustaría saber cómo el último teorema del trabajo de Debreu "Agentes económicos vecinos" (La Decision 171 (1969): 85-90; reimpreso en G. Debreu, Mathematical Economics: Twenty Papers of Gerard Debreu (1986), pp. 173-178):

Teorema. _Para un espacio topológico $M$ y un espacio métrico $H$ , dejemos que $\varphi$ sea un mapeo de valor de conjunto desde $M$ a $H$ que es de valor compacto (es decir $\varphi(e)$ es compacto para cada $e \in M$ ) y continuo . Además, para cada $e \in M$ dejar $\lesssim_e$ ser una preorden total en $\varphi(e)$ tal que el conjunto $\{(e, x, y) \in M \times H \times H : x \lesssim_e y\}$ está cerrado. Entonces el mapeo conjunto-valorado $\varphi^0$ de $M$ a $H$ donde_

$\varphi^0(e) = \{z \in \varphi(e) : x \lesssim_e z \ \ \mbox{for all} \ x \in \varphi(e)\}, \quad e \in M,$

_es de valor compacto y hemicontinuo superior ._

Obsérvese que el teorema se parece al conocido Teorema del Máximo de Berge. Antes del enunciado del teorema, Debreu escribe que casos especiales del mismo "se han utilizado repetidamente en la teoría del equilibrio económico y en la teoría de los juegos", pero no da ninguna referencia; en el propio artículo, se utiliza para demostrar la hemicontinuidad superior de la correspondencia de la demanda para un agente en una economía de intercambio.

Estoy especialmente interesado en saber si ha habido algún uso o generalización reciente de este teorema, por ejemplo, para mapeos que no son de valor compacto.

Preguntas: ¿Cuáles son algunos buenos ejemplos y/o referencias de aplicaciones del teorema anterior? ¿Se ha generalizado a mapeos que no son de valor compacto?

Answer 1

Este resultado es una versión del teorema del máximo de Berge. Si existe una función continua $u:M\times H\to\mathbb{R}$ tal que $x\preceq_e z$ si y sólo si $u(e,x)\leq u(e,z)$ se puede derivar el resultado directamente del teorema del máximo de Berge. Si $H$ es localmente compacto, como es el caso si $H=\mathbb{R}^n$ entonces siempre se puede encontrar dicha función, esto se deduce del Teorema 1 de la obra de Mas-Colell _Sobre la representación continua de las preórdenes_ (al menos si $M$ es metrizable, no estoy seguro de ese punto). Se puede encontrar más información sobre estas "funciones de utilidad conjuntamente continuas" en el capítulo 8 de Representaciones de los ordenamientos de preferencia 1995, por Bridges & Mehta.

Ahora bien, Debreu no disponía de ese resultado, así que trabajó con relaciones de preferencia y esencialmente reprodujo el teorema del máximo de Berge (la generalización es matemáticamente sencilla). ¿Por qué lo hizo? Para entenderlo, hay que comprender el objetivo del trabajo de Debreu, que es encontrar una topología sobre las relaciones de preferencia que tenga propiedades nócias y haga que el comportamiento económico sea continuo. La necesidad de tal resultado proviene de la literatura sobre economías con un continuo de agentes.

¿Qué significa que una economía de agentes continuos es el límite de una secuencia de economías finitas? Una respuesta es que la distribución sobre las características de los agentes converge a la distribución de las características en la economía del continuo, por lo que la noción de convergencia es la convergencia en la distribución. Para hacer operativa esta idea, hay que topologizar las características de los agentes. Ahora un agente se caracteriza por su dotación y por sus preferencias (y en modelos más generales por su conjunto de consumo). Existe una topología natural de las dotaciones, la topología euclidiana, pero es menos sencillo topologizar las preferencias, y eso es lo que hizo Debreu en su artículo. Una exposición de este enfoque distributivo puede encontrarse en Hildenbrand 1974, Núcleo y equilibrios de una gran economía .

Ahora bien, hay casos en los que se quiere aplicar el teorema de Berge para conjuntos de elección no compactos. Esto puede ser importante cuando se estudian economías con espacios de bienes de dimensión infinita, en los que ser cerrado y acotado no implica compacidad. Una forma de abordar este problema es encontrar un conjunto compacto de manera que la correspondencia sea de valor compacto y no vacío cuando se restringe a este conjunto. Existe una amplia literatura, muy técnica, sobre "juegos generalizados" o "economías abstractas" (básicamente juegos de forma normal en los que los espacios de estrategia dependen de las acciones de los demás), y a menudo contienen implícitamente generalizaciones no compactas del teorema de Berge. Si puede conseguir el libro, consulte el capítulo 4 de Xian-Zhi Yuan 1999, Teoría y aplicaciones de KKM en el análisis no lineal . Mi impresión, sin embargo, es que estos resultados no resultan tan útiles en las aplicaciones económicas. Para demostrar la existencia de equilibrios walrasianos en modelos con espacios de mercancías de dimensión infinita, se suelen utilizar métodos diferentes.