¿Cómo mostrar que una función de utilidad homotética tiene funciones de demanda que son lineales en el ingreso?

Question

Una función de utilidad homotética es aquella que es una transformación monotónica de una función de utilidad homogénea.

Se me pide demostrar que si una función de utilidad es homotética, entonces las funciones de demanda asociadas son lineales en ingresos.

En general, si $H$ es monótona y la componemos con una función $g$ que es homogénea, obtenemos $H(g(x,y))$ que es homotética y, por lo tanto, la razón de las derivadas de $H$ con respecto a $x$ e $y$ es la misma que la razón de las derivadas de $g$ con respecto a $x$ e $y$, ya que la función externa se cancela. Esto significa que todas las trayectorias de expansión de ingresos son rayos desde el origen y la pendiente de las curvas de indiferencia (conjuntos de nivel) tienen la misma pendiente a lo largo de la trayectoria de expansión de ingresos.

¿Cómo se puede demostrar en general que las funciones de demanda son lineales en ingresos? Si no se tiene la forma funcional de la función de utilidad, ¿qué se puede sustituir en la restricción presupuestaria para resolver $x$ o $y$ como funciones de los precios e ingresos solamente?

Todo lo que se sabe es que la razón negativa de las derivadas es igual a $p_1/p_2$, pero no se puede sustituir nada en la restricción presupuestaria para $x$ o $y$ ya que solo se tienen derivadas parciales generales.

La única forma que se me ocurre para hacerlo es tomar la inversa de la derivada de la función interna (homogénea) g para resolver $x$ (o $y$).

Answer 1

Pienso que lo que necesitas es que si $U(x,y)$ es homotético entonces $$ \forall \alpha \en \mathbb{R}_{++}, \forall (x,y) : \hskip 6pt \frac{\frac{\partial U(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial U(x,y)}{\partial y}} = \frac{\frac{\partial U(\alpha \cdot x,\alpha \cdot y)}{\partial x}}{\frac{\partial U(\alpha \cdot x,\alpha \cdot y)}{\partial y}} $$ y amor.

Answer 2

$$D(p,I) = \arg\max {U(x):pxI}.$$ El problema $$\arg\max_x {U(x/I):px/I1}$$ tiene solución $$x/I = D(p,1)$$ por lo tanto $$D(p,I)/I = D(p,1)$$ o $$D(p,I) = ID(p,1)$$

Answer 3

1. Dado que existe una suposición de que "la preferencia es homotética", según la definición exacta, U(t_x)=t_U(x), donde U(x) es la utilidad directa de los bienes x y U(x) es homogéneo de grado uno. bajo la previa suposición. (https://en.wikipedia.org/wiki/Homothetic_preferences)

2. Necesito probar que x(p,m) también es homogéneo de grado uno en m. Podemos probarlo por contradicción.

_Supongamos x(p,t_m) tx(p,m) _y x(p,m) es la elección óptima que maximiza la utilidad basada en la restricción presupuestaria m._

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Se nota que ambas consumiciones _x(p,t_m)* y _t_x(p,m)* son factibles basadas en el presupuesto _t_m*. Pero _x(p,t_m)* es la elección óptima, podemos obtener _U(x(p,t_m)) U(tx(p,m)).

Podemos multiplicar por 1/t ambos lados, lo cual resulta en _U(x(p,t_m))/ tU(tx(p,m))/ t. Dado que U(x) es homogéneo de grado uno en x, podemos poner 1/t dentro de U(x), lo cual es _U(X(p,t_m)/t)U(tx(p,m)/t)=U(x(p,m)).

Observa que x(p,m) ya es la elección óptima basada en la restricción presupuestaria m, pero aquí encontramos _otra consumición óptima x(p,t_m)/t . Contradicción.

Entonces _x(p,t_m) tx(p,m). Y x(p,m) es homogéneo de grado uno en m.

3. Debido a que la preferencia es homotética, _x(p,t_m)=tx(p,m), lo que significa que _m_x(p)=mx(p,1)=x(p,m).

Entonces _x(p,m)=m_x(p) donde la demanda es una función lineal del ingreso.

Me disculpo por mi rudeza.

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