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Lagrangiano: Cómo entender la condición No-Ponzi

En http://www.uni-hamburg.de/fachbereiche-einrichtungen/fb03/iwwt/makro/slides2.pdf En la página 8, el lagrangiano se escribe como sigue: $$L = E_0 \sum_ {t=0}^{ \infty } \beta ^t\{U(C_t,N_t) + \lambda_t (P_tC_t + Q_tB_t - B_{t-1}-W_tN_t+T_t)+ \psi_t ( \lim_ {T \to \infty } B_T)\}$$ donde se unen $B_t$ tiene una condición de solvencia $ \lim_ {T \to \infty } B_T \geq 0$ .

En la página 9 se derivan todas las condiciones de primer orden, pero no veo nada relacionado con $ \psi_t $ y la condición de solvencia. ¿Por qué la condición de primer orden relativa a $ \psi_t $ se dejará caer?

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Justin Puntos 1169

Esta condición se denomina en la mayoría de los casos como la condición de No-Ponzi (-esquema) [NP]. Se trata de un una restricción adicional, que impide los esquemas Ponzi: Pagar la deuda con nueva deuda mayor, ad infinitum.

Por cierto: La condición NP es un condición, por lo que el multiplicador asociado debe ser $\psi$ en lugar de $\psi_t$ . Aunque ciertamente no se pierde nada repitiendo la misma condición una y otra vez (para cualquier $t$ ), no lo necesitamos más que una vez, y está siendo impreciso.

Piensa en la optimización para el finito $T$ periodos. Entonces, usted tiene la condición de que $B_T \geq 0$ . La optimización lagrangiana le proporciona la optimización local entre $0, 1, 2$ ... Hay muchas soluciones que son localmente óptimas, pero sólo se permitirán soluciones que al final lleven a $B_T > 0$ .

Un ejemplo sencillo

Su ejemplo es demasiado desordenado para pensar en estas cuestiones fundamentales. Mira en cambio el problema

$$ \max_{\{c_t, a_{t+1}\}_t} \sum_t \beta^t U(c_t) + \lambda_t (a_{t+1} + c_t - Ra_t)$$

Es decir, un hogar que elige activos $a$ y el consumo $c$ para maximizar su utilidad. Se puede resumir el FOC como

$$ \beta^t U'(c_t) = \lambda_t \\ \lambda_t = R\lambda_{t+1}\\ \Leftrightarrow U'(c_t) = \beta R U'(c_{t+1}) $$

Observe por un momento el caso especial en el que $\beta R = 1$ (¿qué implica esto?). Con la mayoría de las preferencias, esto lleva necesariamente a $c_t = c_{t+1}$ . Esta es la optimización local a la que me refería, que es la que te da el Lagrangiano. Sin embargo, hay infinitas soluciones que satisfacen $c_t = c_{t+1}$ . A continuación, tratamos de utilizar la restricción presupuestaria:

$$ a_{t+1} + c_t = R a_t\\ \Leftrightarrow R a_0 = \lim_{T\to\infty}\sum_{t=0}^T \frac{c_t}{R^t} + \frac{a_{T+1}}{R^T}$$

Esto es lo más lejos que llegamos utilizando el conjunto (infinito) de restricciones presupuestarias locales, donde he utilizado la iteración hacia adelante (espero que correctamente), asumiendo cualquier fecha de inicio $t=0$ .

Ahora, si el hogar también tiene que satisfacer la condición NP, esto se reduce a

$$R a_0 = \lim_{T\to\infty}\sum_{t=0}^T \frac{c_t}{R^t}$$

que, como mostramos $c_t$ para que sea constante, podemos resolver fácilmente y obtener una única restricción presupuestaria. El único la solución del problema que satisface la condición NP es la solución donde $c_t$ es una constante y esta última ecuación se mantiene.

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¿Qué ocurre si hay dos activos con rendimientos diferentes? ¿Habrá dos condiciones de no ponzi? Me gustaría tener alguna referencia sobre esto.

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@EndLoop intuitivamente, no se puede ir a rodar hacia adelante la deuda hasta el final del tiempo. La forma de escribirlo sería $\psi(B_T^1 + B_T^2)$ , donde $1$ y $2$ indexar los dos activos. Podría tener dos condiciones por separado $\psi^1 B_T^1 + \psi^2 B_t^2$ , lo que llevaría al mismo resultado, pero no sería "al pie de la letra" de lo que trata la condición NP.

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Tal vez debería poner una pregunta sobre esto para continuar esta discusión. $p_{t}c_{t} + p_{t} b_{t+1} + b_{gt+1} = y_{t} + b_{gt}(1+i_{t}) + p_{t} b_{t} $ donde $b_{t}$ denota un activo que se negocia en dos países y $b_{gt}$ es un activo que se negocia en un solo país. Ahora bien, la condición de no-ponzi sólo me impide pedir prestado más de lo que podría pagar en una vida. Así que como has dicho va a ser una combinación de estos activos. Así que el valor inicial de estos activos para el problema también sería una combinación de estos dos activos?

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