11 votos

Encontrar la distribución de $\int_0 ^T uW_u du$

Me gustaría encontrar la distribución de $\int_0 ^T uW_u du$ donde $(W_u)_{u\geq0}$ es el movimiento Browniano.

Lo que he intentado:

$$\int_0 ^T uW_u du = \int_0 ^T B_udu - \int_0^T \int_0^tB_sdsdt$$ por integración por partes. Sé que cada término en el lado derecho es normal como cualquier integración de un proceso Gaussiano es de nuevo un proceso Gaussiano.

Sin embargo, no puedo terminar RHS es normal ya que no tengo independencia de $\int_0 ^T B_udu $ y $\int_0^T \int_0^tB_sdsdt$ desde $Cov(\int_0 ^T B_udu, \int_0^T \int_0^tB_sdsdt)=T^4 /8 \neq 0$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

19voto

Dan R Puntos 1852

Utilizando la Fórmula de Ito

El enfoque general que a menudo funciona para este tipo de pregunta es la búsqueda de funciones tales que sus Ito diferencial contiene los términos que nos interesan. En su caso, que estamos buscando una función $f(t, x)$ tal que $f_t(t, x) = t x$. Vamos

\begin{ecuación} f(t, x) = \frac{1}{2} t^2 x \end{ecuación}

con

\begin{ecuación} f_t(t, x) = t x, \qquad f_x(t, x) = \frac{1}{2} t^2, \qquad f_{xx}(t, x) = 0. \end{ecuación}

La aplicación de la fórmula de Ito rendimientos

\begin{ecuación} \frac{1}{2} T^2 W_T = \int_0^T u W_u \mathrm{d}u + \frac{1}{2} \int_0^T u^2 \mathrm{d}W_u \end{ecuación}

o

\begin{ecuación} \int_0^T u W_u \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_0^T \left( T^2 - u^2 \derecho) \mathrm{d}W_u. \end{ecuación}

El Ito integral de un determinista integrando se distribuye normalmente con media y la varianza cero

\begin{ecuación} \text{Var} \left( \int_0^T (T^2 - u^2) \mathrm{d}W_u \right) = \int_0^T \left( T^2 - u^2 \derecho)^2 \mathrm{d}u = \frac{8}{15} T^5 \end{ecuación}

y llegamos a la conclusión de que

\begin{ecuación} \int_0^T u W_u \mathrm{d}u \sim \mathcal{N} \left( 0, \frac{2}{15} T^5 \derecho). \end{ecuación}

La discretización de la Integral

Alternativamente, podríamos escribir

\begin{ecuación} \int_0^T u W_u \mathrm{d}u = \lim_{n \rightarrow \infty} X_n, \qquad X_n = \sum_{i = 1}^n \underbrace{t_i W_{t_i}}_{Y_i} \Delta_n, \end{ecuación}

donde $\Delta_n = T / n$ y $t_i = i \Delta_n$. A continuación, cada $Y_i$ es normal con media cero y covarianza

\begin{ecuación} \text{Cov} \left( Y_i, Y_j \derecho) = t_i t_j \min \left\{ t_i, t_j \derecho\} = i j \min \{ i, j \} \Delta_n^3 . \end{ecuación}

Dejar que $\bar{Y}_n$ ser la columna correspondiente vector con los elementos de $\left( Y_1, Y_2, \ldots, Y_n \derecho)'$, obtenemos en forma de matriz

\begin{ecuación} \bar{\Sigma}_n = \mathbb{E} \left[ \bar{Y}_n \bar{Y}_n' \derecho] = \Delta_n^3 \left[ \begin{array}{c c c c} 1 & 2 & \dots & n\\ 2 & 8 & \dots & 4 n\\ 3 & 12 & \ddots & \vdots\\ n + 4 n & \dots & n^3 \end{array} \derecho] \end{ecuación}

Como la suma ponderada de variables aleatorias distribuidas normalmente es en sí mismo una distribución normal, se sigue que $X_n \sim \mathcal{N} \left( 0, \Delta_n \bar{1}_n \bar{\Sigma}_n \bar{1}_n' \Delta_n \right)$, donde $\bar{1}_n$ es un $$n-dimensional vector columna de unos. Tenemos

\begin{eqnarray} \text{Var} \left( X_n \derecho) & = & \Delta_n^5 \sum_{i = 1}^n \left( i \sum_{j = 1}^i j^2 + y^2 \sum_{j = i + 1}^n j \derecho)\\ & = & \Delta_n^5 \left( \sum_{i = 1}^n \left( \frac{1}{3} i^4 + \mathcal{S} \left( i^3 \derecho) + i^2 \left( \frac{1}{2} n^2 - \frac{1}{2} i^2 + \mathcal{S}(i) + \mathcal{S}(n) \derecho) \derecho) \derecho)\\ & = & \Delta_n^5 \left( \frac{1}{15} n^5 + \frac{1}{6} n^5 - \frac{1}{10} n^5 + \mathcal{S}\left( n^4 \derecho) \derecho) \\ & = & \Delta_n^5 \left( \frac{2}{15} n^5 + \mathcal{S}\left( n^4 \derecho) \derecho) \end{eqnarray}

Tenga en cuenta que $\Delta_n^5 = \mathcal{S} \left( n^{-5} \right)$. Por lo tanto, hemos

\begin{ecuación} \lim_{n \rightarrow \infty} \text{Var} \left( X_n \right) = \frac{2}{15} T^5, \end{ecuación}

al igual que antes.

12voto

MayahanaMouse Puntos 71

Otro enfoque consiste en utilizar el teorema de Fubini para escribir que \begin{align} \int_0^T u W_u du &= \int_0^T \int_0^u u\, dW_v\, du \etiqueta{$W_u = \int_0^u dW_v$} \\ &= \int_0^T \int_v^T u\, du\, dW_v \etiqueta{Fubini}\\ &= \frac{1}{2}\int_0^T (T^2 - v^2) dW_v \end{align} Esta es una integral de Itô. Puesto que el integrando es determinista es Gaussiano distribuido con cero de la media y la varianza dada por la Itô isometría $$ \int_0^T u W_u du \sim N\left(0, \frac{1}{4}\int_0^T (T^2 - v^2)^2 dv \right) $$

4voto

Anton Tsches Puntos 61

En primer lugar, usted debe aplicar la integración por partes:

$\int_0^T uW_udu = \frac{u^2}{2}W_u \mid_0^T \int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u $, donde ambas partes están distribuidos normalmente. La varianza del primer sumando es de $(\frac{T^2}{2})^2 = \frac{T^5}{4}$, por definición, la varianza del segundo sumando se puede encontrar por Ito Isometría: $ Var \left( \int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u \derecho) = E \left(\int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u \derecho)^2 = \int_0^TE\frac{u^4}{4}du = \frac{T^5}{20} $. Estos dos términos están correlacionadas, entonces tenemos que calcular la co-varianza (de nuevo, con Ito Isometría):

$ Cov(\frac{T^2}{2}W_T, \int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u) = \frac{T^2}{2}E(W_T\int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u) = \frac{T^2}{2}E(\int_0^TdW_u\int_0^T\frac{u^2}{2}dW_u) = \\ \frac{T^2}{2}\int_0^T\frac{u^2}{2}du = \frac{T^5}{12} $

Así que, como $ Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y) - 2Cov(X,Y) $, obtenemos que:

$ Var(\int_0^T uW_udu) = \frac{T^5}{4} + \frac{T^5}{20} - \frac{T^5}{6} = \frac{2T^5}{15} $,

así como la expectativa de Ito integral es 0, $\int_0^T uW_udu $ ~ $ N(0, \frac{2T^5}{15}) $

Finanhelp.com

FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X