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¿Se aplica el Modelo Black-Scholes a las opciones de estilo americano?

Después de leer el artículo de Wikipedia sobre el modelo Black-Scholes, me parece que solo se aplica a opciones europeas basado en esta cita:

El modelo Black–Scholes (pronunciado /blæk olz/1) es un modelo matemático de un mercado financiero que contiene ciertos instrumentos de inversión derivados. A partir del modelo, se puede deducir la fórmula Black–Scholes, que da el precio de las opciones de estilo europeo.

y

Las opciones americanas y las opciones sobre acciones que pagan un dividendo en efectivo conocido (a corto plazo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar, y hay una elección de técnicas de solución disponibles (por ejemplo, redes y árboles).

¿Es esto correcto? Si es así, ¿hay un modelo similar para las opciones de estilo americano? Mi entendimiento previo era que el precio de las opciones se basaba en su valor intrínseco + el valor temporal. Aunque realmente no estoy seguro de cómo se llega a estos valores.

Encontré esta pregunta / respuesta relacionada, pero no aborda esto directamente: ¿Por qué las opciones de estilo americano valen más que las opciones de estilo europeo?

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user3860 Puntos 129

La diferencia entre una opción americana y una europea es que la opción americana se puede ejercer en cualquier momento, mientras que la opción europea solo se puede liquidar en la fecha de liquidación. La opción americana es un instrumento de "tiempo continuo", mientras que la opción europea es un instrumento de "momento específico". Black Scholes se aplica a esta última opción europea. Bajo "ciertas" circunstancias (pero de ninguna manera todas), ambas son lo suficientemente cercanas como para considerarse sustitutos.

Uno de sus discípulos, Robert Merton, lo "ajustó" para describir las opciones americanas. Hay debates sobre esto y otras modificaciones, años más tarde.

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Matthew Puntos 361

Black-Scholes es "lo suficientemente cercano" para las opciones americanas ya que generalmente no hay razones para ejercer temprano, por lo que la capacidad de hacerlo no importa. Lo cual es bueno ya que es difícil de modelar matemáticamente, he leído.

El ejercicio temprano generalmente sería causado por una extraña mala fijación de precios por alguna razón técnica / de acción de mercado donde las valoraciones teóricas de las opciones están desordenadas. Si vendes una llamada que está muy en el dinero y no obtienes ningún valor temporal (después del spread), por ejemplo, probablemente vendiste la llamada a un arbitrajista que simplemente la va a ejercer. Pero cosas inusuales como estas no cambian mucho el panorama general.

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¡Buen uso de la palabra arbitraje! No había visto esa palabra antes; tuve que buscarla.

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-1 "difícil de modelar matemáticamente"?!? Lo siento, no puedo entender eso en absoluto. Puedes modelar fácilmente retículas y ecuaciones de recursión con una hoja de cálculo después de calcular las tasas y luego las últimas valoraciones aplicando el max(C-K, 0), donde C es el valor de ejercicio próximo y K es el valor de compra para la opción corta (de manera inversa para la opción larga) y luego simplemente recursión hacia atrás con \frac{1}{1+r}(qC_{u} + (1-u)C_{d}) donde C_{u} es el último valor superior y C_{d es el último valor inferior y el q es la tasa libre de arbitraje (suponiendo una situación sin arbitraje). Modelo discreto.

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...o ¿te refieres con tough a las derivadas parciales y la función z browniana en Black-Scholes o a algo más? Matemáticamente, los modelos más simples no son complejos, solo algunos procesos estocásticos, recursión y derivadas parciales.

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Nara Pinto Puntos 16

Solo algunas observaciones dentro del marco de Black-Scholes:

  • Las llamadas americanas tienen el mismo precio que las llamadas europeas en activos que no pagan dividendos.
  • La fórmula de Black-Scholes es aplicable solo a opciones europeas (y, por lo anterior, a llamadas americanas en activos que no pagan dividendos).
  • Según la paridad de llamadas y puts, si tienes los precios de las llamadas europeas para algunas fechas de vencimiento y precios de ejercicio, también tienes los precios de los puts europeos para esas fechas de vencimiento y precios de ejercicio.
  • Si tienes los precios de las llamadas europeas para una fecha de vencimiento T dada para todos los precios de ejercicio, puedes calcular fácilmente el precio de cualquier pago "europeo" para ese vencimiento (por ejemplo, una llamada digital V = 1_{S>K}, o una parábola V = S^2, o lo que sea). Conceptualmente, formas spreads de mariposa __/\_ para una serie de precios de ejercicio crecientes, y te dan la probabilidad "neutra al riesgo" de que termines allí, y luego simplemente integras sobre tu pago.

Luego, ahora puedes usar el marco de Black-Scholes (el precio de las acciones es un Movimiento Browniano Geométrico, sin costos de transacción, una sola tasa de interés, etc.) y métodos numéricos (como un solucionador de EDP) para fijar el precio de las opciones de estilo americano numéricamente, pero no con una fórmula cerrada simple (aunque hay aproximaciones en forma cerrada).

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tobes Puntos 19

Una tangente menor. Uno puede afirmar que el S&P tiene un rendimiento promedio de, digamos, 10%, y una desviación estándar de, digamos, 14% o algo así, pero cuando se trabaja con eso, se encuentra que los rendimientos reales no se ajustan tan bien a la curva de campana estándar. Anomalías del mercado que producen la "inundación de 100 años" con mucha más frecuencia de lo predicho incluso en un período de 20 años. Esto simplemente significa que el modelo no refleja la realidad en los extremos, incluso si las +/- 2 desviaciones estándar parecen bastante bien.

Esto también se aplica al modelo de Black-Sholes (casi lo abrevié a las iniciales, pero luego pensé que era mejor, de hecho me gusta el modelo). La diferencia entre American y European es lo suficientemente pequeña como para que la precisión del modelo sea mayor que la diferencia entre estos dos estilos de opción. Creo que si se examina el modelo y el precio real, se puede determinar la volatilidad de una acción dada utilizando precios alrededor del precio de ejercicio, pero luego, al modelar las opciones muy alejadas del dinero, a menudo se encuentra que el mercado crea su propia valuación.

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Eso tiene mucho sentido. Si los precios fueran tan predecibles, entonces el sistema no funcionaría. Resulta que el sistema realmente funciona porque los precios son algo impredecibles.

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También puedo extenderme un poco sobre cómo, en muchos casos de operaciones, el volumen es tan bajo que no se puede esperar que el precio refleje el valor real. Si tuviera la habilidad y potencia de procesamiento necesaria, escanearía cierto tipo de actividad para encontrar indicios de comportamientos inusuales. Ese comportamiento puede reflejar operaciones ilegales, por lo que se necesita precaución. Si tu operación sigue y tienes buenos registros, no serás castigado por la misma actividad de comercio ilegal que los primeros.

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Si tuviera la habilidad y el poder de procesamiento, escanearía cierto tipo de actividad para encontrar indicios de comportamientos inusuales. ¿No hay herramientas en línea que hagan esto por ti?

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alex Puntos 12733

Como no hay ventaja en ejercer anticipadamente la opción de compra americana, podemos usar la fórmula de Black-Scholes para evaluar la opción. Sin embargo, la opción de venta americana es más probable que se ejerza anticipadamente, lo que significa que Black-Scholes no se aplica a este estilo de opción

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