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Equilibrio de Nash - error en la prueba de papel?

Tengo una pregunta respecto a la prueba de la Proposición 1 en Besley y Ghatak (2007) en el Apéndice a de su papel. Se trata de una de las más citadas en papel, pero creo que hay un error en la prueba de la Proposición 1. El modelo se describe en la Sección 2. de su papel. Es un modelo muy sencillo que busca obtener el equilibrio de Nash del mercado. En particular, muestran que $\theta_c^*$ debe satisfacer $f'(n \theta_c^*) = \alpha$ en equilibrio. En su prueba en el apéndice ellos del estado:

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Sin embargo, creo que hay un error porque el paquete de $(p', \widehat{\theta'})$ qué no hacer de cada uno el cuidado de consumo estrictamente mejor.

El nuevo paquete de $(p', \widehat{\theta'})$ da de utilidad:

$a$b-p'+f(\widehat{\theta'} + (n-1)\widehat{\theta}) $$

El viejo paquete de $(p, \widehat{\theta})$ da de utilidad:

$a$b-p+f(n\widehat{\theta}) $$

El nuevo paquete es estrictamente preferida a la edad paquete de iff

$a$b-p'+f(\widehat{\theta'} + (n-1)\widehat{\theta}) > b-p+f(n\widehat{\theta})$$

$$ f(n\widehat{\theta} + \Delta \widehat{\theta}) - f(n\widehat{\theta}) > \Delta p$$

Si hacemos la sustitución como se indica en el documento: $\Delta p = f'(n\widehat{\theta}) \Delta \widehat{\theta}$ y suponiendo que queremos positivo de $\Delta \widehat{\theta}$, entonces lo anterior se convierte en:

$$\frac{f(n\widehat{\theta} + \Delta \widehat{\theta}) - f(n\widehat{\theta})}{\Delta \widehat{\theta}} > f'(n \widehat{\theta}) $$

Si escogemos un negativo de $\Delta \widehat{\theta}$, entonces la condición anterior se convierte en

$$\frac{f(n\widehat{\theta} + \Delta \widehat{\theta}) - f(n\widehat{\theta})}{\Delta \widehat{\theta}} < f'(n \widehat{\theta}) $$

Pero $f$ es un creciente y estrictamente cóncava de la función, de modo que las desigualdades son siempre falsas. Así que el nuevo paquete nunca preferido para el paquete antiguo. Todo lo demás en la prueba está bien, aparte de este paso y este es el paso más crucial de la prueba como es característico de lo que $\widehat{\theta}$ debe estar en equilibrio, si esto está mal entonces, muchos otros resultados en el papel son también mal.

Así, hay un error en esta parte de la prueba del papel? Y si es así, ¿hay una manera de corregir, de manera que los resultados todavía se mantienen?

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Andrew Puntos 388

El objetivo es mostrar que, siempre que $f'(n\hat\theta)\ne \alpha$, una empresa siempre puede diseñar un paquete de $(p',\hat\theta')=(p+\Delta p,\hat\theta+\Delta \hat{\theta})$ tal que (i) una preocupación de los consumidores estrictamente prefiere este paquete, y (ii) la firma hace ganancias positivas.

1) las matemáticas son correctas: las desigualdades son siempre falsas cuando f es creciente y estrictamente cóncava. En ese caso, la prueba en el papel no está claro. El paquete de $(p',\hat\theta')=(p+f'(n\hat\theta)\Delta \hat{\theta},\hat\theta+\Delta \hat{\theta})$ no satisface (i).

2) puede mostrar la proposición con el siguiente razonamiento. Suponga que $f'(n\hat\theta)>\alpha$. Tomar cualquier $h$ en el intervalo $(\alpha,f'(n\hat\theta))$. Para $\Delta \hat{\theta}$ lo suficientemente pequeño y positivo, una empresa que ofrece el paquete de $(p',\hat\theta')=(p+h\Delta \hat{\theta},\hat\theta+\Delta \hat{\theta})$ satisface (i) y (ii). Con una de primer orden appoximation, nos muestran (i): $$b-p'+f(\hat\theta'+(n-1)\hat\theta)>b-p+f(n \hat\theta),$$ y (ii): $$\Delta p - \alpha \Delta \theta>0.$$

Suponga que $f'(n\hat\theta)<\alpha$, y tomar $h$ en el intervalo $(f'(n\hat\theta),\alpha)$. Para $\Delta \hat{\theta}$ lo suficientemente pequeño y negativo, una empresa que ofrece el paquete de $(p',\hat\theta')=(p+h\Delta \hat{\theta},\hat\theta+\Delta \hat{\theta})$ satisface (i) y (ii).

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