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¿Aplicaciones de las funciones Trig en economía?

¿Hay alguna aplicación de las funciones trigonométricas (es decir $\sin(x)$ , $\cos(x)$ , $\tan(x)$ ) en economía?

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¿Por qué te importa?

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@MichaelGreinecker interés general.

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Bernard Puntos 10700

La principal propiedad de las funciones trigonométricas es su ciclicidad. Entonces uno pensaría que podrían ser ideales en el análisis de series temporales, para modelar las "fluctuaciones en torno a una tendencia". Creo que las razones por las que no se utilizan realmente en este tipo de escenario son

1) Son determinista funciones, por lo que no permiten que las fluctuaciones sean estocásticas

2) Si el investigador quiere crear un modelo que produce fluctuaciones al alza y a la baja (oscilaciones) en torno a una tendencia, querría obtener esa propiedad a partir del comportamiento y otros supuestos del modelo. Si utilizara una función trigonométrica, tendría que a priori imponer al modelo el resultado teórico buscado.

En su lugar, se opta por las ecuaciones diferenciales. Ahí se obtienen oscilaciones (amortiguadas o no) si algunas raíces características son complejas -y entonces aparecen las funciones trigonométricas, pero como una representación alternativa, no como bloques de construcción.

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No estoy seguro de estar de acuerdo con usted. Hay un área llamada análisis espectral en series temporales que consiste principalmente en el uso de funciones trigonométricas, transformada de Fourier, etc. Aprendes que puedes descomponer una serie temporal estacionaria en una suma de componentes sinusoidales con coeficientes aleatorios no correlacionados.

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@Anoldmaninthesea. Ciertamente y bueno que lo hayas señalado (yo sugeriría hacer una respuesta de ello). Pero el análisis espectral se utiliza principalmente para fines de previsión ateórica, no para la modelización económica estructural.

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Alecos, lamentablemente necesitaría estudiarlo en detalle para dar una buena respuesta. Quizás durante el fin de semana. :D

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Ben Puntos 129

Una aplicación natural de las funciones trigonométricas es el análisis de datos espaciales. Un ejemplo es el Problema de Weber en la teoría de la localización - encontrar el punto que minimiza la suma de los costes de transporte a $n$ destinos. Hay más de una forma de resolver el problema, pero La solución de Tellier utiliza la trigonometría.

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Sé que las series de Fourier se utilizan en Finanzas y Econometría.

Métodos de la transformada de Fourier en finanzas

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Yacoby Puntos 603

Ignorando la restricción presupuestaria intertemporal, las fusiones y las quiebras, la distribución de los rendimientos de los valores de renta variable negociados en una subasta doble es $$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$$

Para ello véase: Harris, D.E. (2017) La distribución de los rendimientos. Revista of Mathematical Finance , 7, 769-804.

Para los rendimientos calculados como diferencia de logaritmos, los rendimientos son: $$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$$

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Antti Puntos 11

Para ver un ejemplo concreto de cómo las funciones trigonométricas (y trigonométricas inversas) pueden tener aplicaciones financieras o económicas, he aquí uno de "Analysis of Financial Time Series" de Ruey S. Tsay. Considere el modelo AR(2):

$$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$$

Su función de autocorrelación (ACF) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ satisface la ecuación de diferencia $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$ , donde $B$ es el operador de desplazamiento hacia atrás, es decir $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ y $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$ . (Algunas personas prefieren escribir $L$ para el operador de retardo en su lugar).

La ecuación característica de segundo orden $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ tiene raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ dado por:

$$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$$

Si las raíces características son reales, el comportamiento es una mezcla de dos decaimientos exponenciales. Pero si en cambio el discriminante $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$ , entonces las raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ forman un par complejo-conjugado, y el gráfico de la ACF mostrará ondas sinusoidales amortiguadas. Citando a Tsay:

En las aplicaciones empresariales y económicas, las raíces características complejas son importantes. Dan lugar al comportamiento de los ciclos económicos. Así pues, es habitual que los modelos económicos de series temporales tengan raíces características de valor complejo. Para un modelo AR(2) ... con un par de raíces características complejas, el media La longitud de los ciclos estocásticos es

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]} $$

donde la inversa del coseno se indica en radianes. Si se escriben las soluciones complejas como $a \pm bi$ , donde $i=\sqrt{-1}$ entonces tenemos $\phi_1 = 2a$ , $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$ y

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})} $$

Tenga en cuenta que esta segunda forma de escribir $k$ tiene una forma mucho más geométrica e intuitiva de pensar en el coseno inverso.

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He citado textualmente a Tsay sobre "las raíces características complejas son importantes. Dan lugar al comportamiento de los ciclos económicos" porque creo que esa afirmación debe ser tratada con escepticismo - véase la respuesta de Alecos pero también, por ejemplo, los comentarios de Stephan Kolassa aquí . Me pregunto si el libro está siendo excesivamente simplificado para su público (aunque es un texto de nivel universitario, el énfasis está puesto en los profesionales). Sin embargo, si las longitudes de los ciclos no son estocásticas, la fórmula de $k$ es cierto.

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