¿Aplicaciones de las funciones trigonométricas en Economía?

Question

¿Existen aplicaciones de funciones trigonométricas (por ejemplo, $\sin(x)$, $\cos(x)$,$\tan(x)$) en economía?

Answer 1

La propiedad principal de las funciones trigonométricas es su ciclicidad. Entonces, uno pensaría que podrían ser ideales en el análisis de series temporales, para modelar "fluctuaciones alrededor de una tendencia". Creo que las razones por las que en realidad no se utilizan en ese entorno son:

1) Son funciones determinísticas, por lo que no permiten que las fluctuaciones sean estocásticas.

2) Si el investigador quiere crear un modelo que produzca fluctuaciones ascendentes y descendentes (oscilaciones) alrededor de una tendencia, querría obtener esa propiedad a partir del comportamiento y otras suposiciones del modelo. Si usara una función trigonométrica, a priori estaría imponiendo en el modelo el resultado teórico buscado.

En cambio, se opta por ecuaciones diferenciales-diferenciales. Allí obtenemos oscilaciones (amortiguadas o no) si algunas raíces características son complejas, y luego aparecen las funciones trigonométricas, pero como una representación alternativa, no como bloques de construcción.

Answer 2

Una aplicación natural de las funciones trigonométricas está en el análisis de datos espaciales. Un ejemplo es el problema de Weber en la teoría de la ubicación, que consiste en encontrar el punto que minimiza la suma de los costos de transporte hacia $n$ destinos. Hay más de una forma de resolver el problema, pero la solución de Tellier utiliza la trigonometría.

Answer 3

Conozco que las series de Fourier se utilizan en Finanzas y Econometría.

Métodos de Transformada de Fourier en Finanzas

Answer 4

Ignorando la restricción presupuestaria intertemporal, fusiones y quiebras la distribución de rendimientos para los valores de renta variable negociados en una subasta doble es $$\Pr(\tilde{r}_t)=\left[\frac{\pi}{2}+\tan^{-1}\left(\frac{\mu}{\gamma}\right)\right]^{-1}\frac{\gamma}{\gamma^2+(\tilde{r}_t-\mu)^2}.$$

Para más información ver: Harris, D.E. (2017) La Distribución de Rendimientos. Revista de Finanzas Matemáticas , 7, 769-804.

Para los rendimientos calculados como la diferencia de logs, los rendimientos son: $$\Pr(log(r_t))=\frac{1}{2\sigma}\text{sech}\left(\frac{\pi(\tilde{r}_t-\mu)}{2\sigma}\right)$$

Answer 5

Para un ejemplo concreto de cómo las funciones trigonométricas (y trigonométricas inversas) pueden tener aplicaciones financieras o económicas, aquí hay uno de "Análisis de Series Temporales Financieras" por Ruey S. Tsay. Considera el modelo AR(2):

$$r_t = \phi_0 + \phi_1 r_{t-1} + \phi_2 r_{t-2} +a_t$$

Su función de autocorrelación (ACF) $\rho_\ell = \operatorname{Corr}(r_t, r_{t-\ell})$ satisface la ecuación de diferencia $(1 - \phi_1 B - \phi_2 B^2) \rho _ \ell = 0$, donde $B$ es el operador de desplazamiento hacia atrás, es decir, $B \rho_\ell = \rho_{\ell-1}$ y $B^2 \rho_\ell = \rho_{\ell-2}$. (Algunas personas prefieren escribir $L$ para el operador de rezago en su lugar.)

La ecuación característica de segundo orden $1 - \phi_1 \omega - \phi_2 \omega^2 = 0$ tiene raíces características $\omega_1$ and $\omega_2$ dadas por:

$$\omega = \frac{\phi_1 \pm \sqrt{\phi_1^2 + 4\phi_2}}{-2\phi_2}$$

Si las raíces características son reales, el comportamiento es una mezcla de dos decaimientos exponenciales. Pero si en su lugar el discriminante $\phi_1^2 + 4\phi_2 < 0$, entonces las raíces características $\omega_1$ y $\omega_2$ forman un par complejo conjugado, y la gráfica de la ACF mostrará ondas sinusoidales amortiguadas. Para citar a Tsay:

En aplicaciones empresariales y económicas, las raíces características complejas son importantes. Dan lugar al comportamiento de los ciclos empresariales. Por lo tanto, es común que los modelos de series temporales económicas tengan raíces características de valor complejo. Para un modelo AR(2) ... con un par de raíces características complejas, la longitud promedio de los ciclos estocásticos es

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}[\phi_1 / (2\sqrt{-\phi_2})]} $$

donde el coseno inverso se expresa en radianes. Si se escriben las soluciones complejas como $a \pm bi$, donde $i=\sqrt{-1}$, entonces tenemos $\phi_1 = 2a$, $\phi_2 = -(a^2 + b^2)$, y

$$ k = \frac{2 \pi}{\cos^{-1}(a / \sqrt{a^2+b^2})} $$

Nótese que esta segunda forma de escribir $k$ tiene una manera mucho más intuitiva geométricamente de pensar en el coseno inverso.