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Ejemplos prácticos de aplicación del lema de Ito

En la mayoría de los libros de texto El lema de Ito se deriva (con diferentes niveles de tecnicismo según el público al que se destina) y luego sólo los ejemplos clásicos de Movimiento Browniano Geométrico y el Ecuación de Black-Scholes se dan.

Mi pregunta
Estoy buscando referencias donde lotes de ejemplos trabajados de aplicación del lema de Ito se dan de forma fácil de seguir, paso a paso. También se deben cubrir los casos más avanzados.

21voto

Andrey Puntos 137

Todos estos son ejemplos de la Fórmula Ito en su forma general (con variaciones cuadráticas):

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6voto

Scott Puntos 2453

Pensé que este era un ejemplo interesante para agregar. Se trata de un "modelo de proporción" de hábito (en oposición a un modelo de "diferencia" de hábito). Véase, por ejemplo, Abel (1990, American Economic Review). Que $$ x_t = \lambda \int_ {- \infty }^t e^{- \lambda (t-s)} c_s ds. $$ (Por el contexto, $x_t$ es un índice de hábito logarítmico que viene dado por un promedio geométrico de consumo pasado, donde $c_t$ es el consumo de troncos). Luego por la fórmula de Ito, \begin {alinear} d x_t &= \lambda \int_ {- \infty }^t - \lambda e^{- \lambda (t-s)} c_s ds \, dt + \lambda c_t dt \\ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end {alinear} La parte que me interesa es que es fácil equivocarse al pensar que la respuesta es $dx_t = \lambda c_t dt$ o $d x_t = - \lambda x_t dt$ .

Aquí, $c_s$ es un proceso estocástico bien llevado. Esto es esencialmente lo mismo que el 9-1 (a) anterior cuando $dc_t = dW_t$ donde $W$ es un movimiento Browniano. Este tipo de cálculo parece aparecer con cierta frecuencia (modelo de tasa de interés de Hull-White), pero no parece utilizar directamente el lema de Ito.

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